【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，橢圓上的點(diǎn)滿足，且的面積為．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，直線與直線的交點(diǎn)為，證明：點(diǎn)總在直線上．

【答案】（1）；（2）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）由已知，可求，，故方程為；（2）當(dāng)直線不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為、，由得，由共線，得，又，則，代入可得結(jié)論．

試題解析：（1）由題意知：，

∵橢圓上的點(diǎn)滿足，且，

∴，

∴．

∴．

又∵，∴．

∴橢圓的方程為，

（2）由題意知，

①當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，，則的方程是：，

的方程是：，直線與直線的交點(diǎn)為，

∴點(diǎn)在直線上

（2）當(dāng)直線不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為、，

由得，

∴．

，共線，∴

又，需證明共線，

需證明，只需證明，

若，顯然成立，若，即證明

成立．

∴共線，即點(diǎn)總在直線上．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在極坐標(biāo)系中，已知曲線，將曲線上的點(diǎn)向左平移一個(gè)單位，然后縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)軸伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，得到曲線，又已知直線（是參數(shù)），且直線與曲線交于兩點(diǎn).

（I）求曲線的直角坐標(biāo)方程，并說明它是什么曲線；

（II）設(shè)定點(diǎn)，求.

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【題目】我國(guó)的高鐵技術(shù)發(fā)展迅速，鐵道部門計(jì)劃在兩城市之間開通高速列車，假設(shè)列車在試運(yùn)行期間，每天在兩個(gè)時(shí)間段內(nèi)各發(fā)一趟由城開往城的列車（兩車發(fā)車情況互不影響），城發(fā)車時(shí)間及概率如下表所示：

發(fā)車

時(shí)間

概率

若甲、乙兩位旅客打算從城到城，他們到達(dá)火車站的時(shí)間分別是周六的和周日的（只考慮候車時(shí)間，不考慮其他因素）．

（1）設(shè)乙候車所需時(shí)間為隨機(jī)變量（單位：分鐘），求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）求甲、乙兩人候車時(shí)間相等的概率．

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【題目】已知矩形中，，分別在上，且，沿將四邊形折成四邊形，使點(diǎn)在平面上的射影在直線上，且.

（1）求證：平面；

（2）求到平面的距離.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)F在軸正半軸上，準(zhǔn)線與圓相切.

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）已知直線和拋物線交于點(diǎn)，命題：“若直線過定點(diǎn)（0，1），則 ”，

請(qǐng)判斷命題的真假，并證明.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，過拋物線上一點(diǎn)，作兩條直線分別交拋物線于，，當(dāng)與的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)：

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若直線在軸上的截距時(shí)，求面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知二次函數(shù)為常數(shù), 的一個(gè)零點(diǎn)是,函數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù), 設(shè)函數(shù)．

（1）過點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線, 證明切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；

（2）令,若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù), 求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（），其最小正周期為．

（1）求在區(qū)間上的減區(qū)間；

（2）將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于的方程在區(qū)間上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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