【題目】如圖，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，側(cè)棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD= ．用向量法解決下列問(wèn)題：

（1）若AC的中點(diǎn)為E，求A1C與DE所成的角；
（2）求二面角B1﹣AC﹣D1（銳角）的余弦值．

【答案】
（1）解：由AD=CD，AC的中點(diǎn)為E，∴DE⊥AC．

如圖，以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

依題意可得A（0，0，0 ），B（1，0，0），A1（0，0，2）

C（0，2，0），D（﹣2，1，0），B1（1，0，2），

D1（﹣2，1，2），E（0，1，0）．

=（0，2，﹣2）， =（2，0，0），

∵ =0，∴A1C⊥DE，

∴A1C與DE所成的角為 ．


（2）解：設(shè)平面B1AC與平面D1AC所成的角為θ，

平面B1AC的法向量為 =（x，y，1），平面D1AC的法向量為 =（a，b，1）．

=（﹣1，0，﹣2）， =（2，﹣1，﹣2）， =（0，2，0）．

由 ，得 =（﹣2，0，1），

由 ，得 =（1，0，1），

則cosθ= = = ，

∴二面角B1﹣AC﹣D1（銳角）的余弦值為 ．


【解析】（1）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出A1C與DE所成的角．（2）求出平面B1AC的法向量和平面D1AC的法向量，利用向量法能求出二面角B1﹣AC﹣D1（銳角）的余弦值．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解異面直線及其所成的角的相關(guān)知識(shí)，掌握異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點(diǎn)，作另一條的平行線；2、補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長(zhǎng)方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

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【題目】如圖，在平面四邊形ABCD中，AD=1，CD=2，AC= ．

（1）求cos∠CAD的值；
（2）若cos∠BAD=﹣ ，sin∠CBA= ，求BC的長(zhǎng)．

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【題目】已知拋物線y2=ax上一點(diǎn)M（4，b）到焦點(diǎn)的距離為6．
（1）求拋物線的方程；
（2）若此拋物線與直線y=kx﹣2交于不同的兩點(diǎn)A、B，且AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，求k的值．

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【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=5，BB1=BC=6，D，E分別是AA1和B1C的中點(diǎn)
（1）求證：DE∥平面ABC；
（2）求三棱錐E﹣BCD的體積．

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【題目】已知雙曲線 （a＞0，b＞0）的兩條漸近線與拋物線D：y2=2px（p＞0）的準(zhǔn)線分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的離心率為 ，△ABO的面積為2 ．
（1）求雙曲線C的漸近線方程；
（2）求p的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的圖象如圖所示，則函數(shù)g（x）=b+logax的圖象大致是（ ）
A.
B.
C.
D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（﹣1，1），B（7，﹣1），C（﹣2，5），AB邊上的中線所在直線為l．
（1）求直線l的方程；
（2）若點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為D，求△BCD的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】盒子中有5個(gè)大小形狀完全相同的小球，其中黑色小球有3個(gè)，標(biāo)號(hào)分別為1，2，3，白色小球有2個(gè)，標(biāo)號(hào)分別為1，2．
（1）若從盒中任取兩個(gè)小球，求取出的小球顏色相同且標(biāo)號(hào)之和小于或等于4的概率；
（2）若盒子里再放入一個(gè)標(biāo)號(hào)為4的紅色小球，從中任取兩個(gè)小球，求取出的兩個(gè)小球顏色不同且標(biāo)號(hào)之和大于3的概率．

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【題目】樣本（x1 ， x2…，xn）的平均數(shù)為x，樣本（y1 ， y2 ， …，ym）的平均數(shù)為 （ ≠ ）．若樣本（x1 ， x2…，xn ， y1 ， y2 ， …，ym）的平均數(shù) =α +（1﹣α） ，其中0＜α＜ ，則n，m的大小關(guān)系為（ ）
A.n＜m
B.n＞m
C.n=m
D.不能確定

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