Question

【題目】已知拋物線y2=ax上一點(diǎn)M（4，b）到焦點(diǎn)的距離為6．
（1）求拋物線的方程；
（2）若此拋物線與直線y=kx﹣2交于不同的兩點(diǎn)A、B，且AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：拋物線的準(zhǔn)線方程為x=﹣ ．

∵拋物線y2=ax上一點(diǎn)M（4，b）到焦點(diǎn)的距離為6，

∴4﹣（﹣ ）=6，

∴a=8，

∴拋物線的方程為y2=8x；

（2）解：∵直線y=kx﹣2與拋物線y2=8x交于兩點(diǎn)，

∴k≠0．

由直線y=kx﹣2與拋物線y2=8x，消去y，得k2x2﹣4kx﹣8x+4=0，

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2= =4，解得k=﹣1或k=2．

而當(dāng)k=﹣1時(shí)，方程k2x2﹣4kx﹣8x+4=0只有一個(gè)解，即A、B兩點(diǎn)重合，

∴k≠﹣1．

∴k=2．

【解析】（1）利用拋物線的定義建立方程，求出a，即可求拋物線的方程；（2）直線y=kx﹣2代入拋物線y2=8x，利用AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，結(jié)合韋達(dá)定理，求出k的值