Question

【題目】已知中心在原點 ，焦點在 軸上的橢圓，離心率 ，且橢圓過點 .
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)橢圓左、右焦點分別為 ，過 的直線 與橢圓交于不同的兩點 ，則 的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及此時的直線方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可設(shè)橢圓方程為 ．

則 ，

解得： 橢圓方程為 ，

（2）解：設(shè) ，不妨 ，設(shè) 的內(nèi)切圓的半徑 ，

則 的周長為 因此 最大， 就最大，

由題知，直線 的斜率不為零，可設(shè)直線 的方程為 ，

由 得 ，

得

則 ，

令 ，可知 ，則 ，

令 ，則 ，當 時， ， 在 上單調(diào)遞增，有 ，

即當 時， ，這時所求內(nèi)切圓面積的最大值為 ．

故直線 內(nèi)切圓面積的最大值為 .

【解析】(1)根據(jù)橢圓的簡單性質(zhì)可求出a、b的值從而得到橢圓的方程。（2）由已知可得到a的值根據(jù)三角形面積最大R 就最大，設(shè)出直線的方程與橢圓聯(lián)立即可表示出Δ F1AB 的面積，再利用換元法借助導數(shù)的性質(zhì)求出其增減性進而可求出其內(nèi)切圓面積的最大值。