【題目】已知a,b,c均為正數(shù),設函數(shù)f(x)=|x﹣b|﹣|x+c|+a,x∈R.
(1)若a=2b=2c=2,求不等式f(x)<3的解集;
(2)若函數(shù)f(x)的最大值為1,證明:.
【答案】(1).(2)見解析
【解析】
(1)根據(jù)a=2b=2c=2時,將不等式f(x)<3化為|x﹣1|﹣|x+1|<1,然后利用零點分段法解不等式即可;
(2)根據(jù)條件利用絕對值三角不等式,可得a+b+c=1,然后利用柯西不等式,即可證明.
(1)當a=2b=2c=2時,a=2,b=c=1
不等式f(x)<3化為|x﹣1|﹣|x+1|<1,
當x≤﹣1時,原不等式化為1﹣x+1+x<1,解集為;
當﹣1<x<1時,原不等式化為1﹣x﹣x﹣1<1,解得;
當x≥1時,原不等式化為x﹣1﹣x﹣1<1,解得x≥1,
∴不等式f(x)<3的解集為.
(2)∵
又∵a,b,c>0,
∴
∴
當且僅當,即時等號成立,
∴.
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【題目】設{an}是各項都為整數(shù)的等差數(shù)列,其前n項和為,是等比數(shù)列,且,,,.
(1)求數(shù)列,的通項公式;
(2)設cn=log2b1+log2b2+log2b3+…+log2bn, .
(i)求Tn;
(ii)求證:2.
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【題目】已知函數(shù),其中e是自然對數(shù)的底數(shù),.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設,討論函數(shù)零點的個數(shù),并說明理由.
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【題目】隨著生活節(jié)奏的加快以及智能手機的普及,外賣點餐逐漸成為越來越多用戶的餐飲消費習慣,由此催生了一批外賣點餐平臺.已知某外賣平臺的送餐費用與送餐距離有關(該平臺只給5千米范圍內(nèi)配送),為調(diào)査送餐員的送餐收入,現(xiàn)從該平臺隨機抽取100名點外賣的用戶進行統(tǒng)計,按送餐距離分類統(tǒng)計結(jié)果如表:
送餐距離(千米) | (0,1] | (1,2] | (2,3] | (3,4] | (4,5] |
頻數(shù) | 15 | 25 | 25 | 20 | 15 |
以這100名用戶送餐距離位于各區(qū)間的頻率代替送餐距離位于該區(qū)間的概率.
(1)若某送餐員一天送餐的總距離為100千米,試估計該送餐員一天的送餐份數(shù);(四舍五入精確到整數(shù),且同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表).
(2)若該外賣平臺給送餐員的送餐費用與送餐距離有關,規(guī)定2千米內(nèi)為短距離,每份3元,2千米到4千米為中距離,每份7元,超過4千米為遠距離,每份12元.記X為送餐員送一份外賣的收入(單位:元),求X的分布列和數(shù)學期望.
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【題目】在平面直角坐標系中,以原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系.已知直線的極坐標方程為,曲線的極坐標方程為.
(1)寫出直線和曲線的直角坐標方程;
(2)過動點且平行于的直線交曲線于兩點,若,求動點到直線的最近距離.
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【題目】在平面直角坐標系中,已知直線的參數(shù)方程:(為參數(shù)),以原點為極點,軸非負半軸為極軸(取相同單位長度)建立極坐標系,圓的極坐標方程為:.
(1)將直線的參數(shù)方程化為普通方程,圓的極坐標方程化為直角坐標方程;
(2)求圓上的點到直線的距離的最小值.
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【題目】某化工廠在定期檢修設備時發(fā)現(xiàn)生產(chǎn)管道中共有5處閥門()發(fā)生有害氣體泄漏.每處閥門在每小時內(nèi)有害氣體的泄露量大體相等,約為0.01立方米.閥門的修復工作可在不停產(chǎn)的情況下實施.由于各閥門所處的位置不同,因此修復所需的時間不同,且修復時必須遵從一定的順序關系,具體情況如下表:
泄露閥門 | |||||
修復時間 (小時) | 11 | 8 | 5 | 9 | 6 |
需先修復 好的閥門 |
在只有一個閥門修復設備的情況下,合理安排修復順序,泄露的有害氣體總量最小為( )
A.1.14立方米B.1.07立方米C.1.04立方米D.0.39立方米
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