已知函數(shù).
(1)試問的值是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請說明理由;
(2)定義,其中,求;
(3)在(2)的條件下,令.若不等式對且恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
解析試題分析:(1)根據(jù)函數(shù)解析式的特點直接代入計算的值;(2)利用(1)中條件的條件,并注意到定義中第項與倒數(shù)第項的和這一條件,并利用倒序相加法即可求出的表達式,進而可以求出的值;(3)先利用和之間的關(guān)系求出數(shù)列的通項公式,然后在不等式中將與含的代數(shù)式進行分離,轉(zhuǎn)化為恒成立的問題進行處理,最終利用導(dǎo)數(shù)或作差(商)法,通過利用數(shù)列的單調(diào)性求出的最小值,最終求出實數(shù)的取值范圍.
試題解析:(1)的值為定值2.
證明如下:
.
(2)由(1)得.
令,則.
因為①,
所以②,
由①+②得,所以.
所以.
(3)由(2)得,所以.
因為當(dāng)且時,
.
所以當(dāng)且時,不等式恒成立.
設(shè),則.
當(dāng)時,,在上單調(diào)遞減;
當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增.
因為,所以,
所以當(dāng)且時,.
由,得,解得.
所以實數(shù)的取值范圍是.
考點:函數(shù)、倒序相加法、導(dǎo)數(shù)
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)(為常數(shù)).
(1)當(dāng)時,求的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)若,且對任意的,恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分15分)已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,求在最小值;
(2)若存在單調(diào)遞減區(qū)間,求的取值范圍;
(3)求證:().
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù).
⑴ 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
⑵ 如果對于任意的,總成立,求實數(shù)的取值范圍;
⑶ 是否存在正實數(shù),使得:當(dāng)時,不等式恒成立?請給出結(jié)論并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知是實數(shù),函數(shù),和,分別是的導(dǎo)函數(shù),若在區(qū)間上恒成立,則稱和在區(qū)間上單調(diào)性一致.
(Ⅰ)設(shè),若函數(shù)和在區(qū)間上單調(diào)性一致,求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)且,若函數(shù)和在以為端點的開區(qū)間上單調(diào)性一致,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),(其中,),且函數(shù)的圖象在點處的切線與函數(shù)的圖象在點處的切線重合.
(Ⅰ)求實數(shù)a,b的值;
(Ⅱ)若,滿足,求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ)若,試探究與的大小,并說明你的理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知 函數(shù)
(1)已知任意三次函數(shù)的圖像為中心對稱圖形,若本題中的函數(shù)圖像以為對稱中心,求實數(shù)和的值
(2)若,求函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值
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