Question

已知0＜b＜1+a，記關于x的不等式（x-b）²＞（ax）²的解集為M．
（1）若集合M中的整數有無限個，求a的范圍；
（2）若集合M中的整數恰有3個，求證：1＜a＜3．

Answer 1

解：（1）由（x-b）²＞（ax）² 得[（1+a）x-b][（1-a）x-b]＞0，由于0＜b＜1+a，
①若1-a=0，即a=1時，不等式化為（2x-b）（-b）＞0，
解得M={x|x＜ }，顯然M中的整數有無限個，符合條件．
②1-a≠0，即a≠1時，若要有無數個整數解，則應1-a＞0，即a＜1；
再由已知條件0＜b＜1+a，可得a＞-1．
綜上可知-1＜a≤1．
（2）由（1）知1-a＜0，即a＞1時，x的解在兩個實數之間，不等式即（x-）（x-）＜0，
又可得，所以集合M=．
若要M中的整數恰有3個，則 ，
所以，，解得a＜3．
綜上可知1＜a＜3．
分析：（1）由題意可得①若1-a=0，M={x|x＜ }，顯然M中的整數有無限個，符合條件．②1-a≠0，若要有無數個整數解，則應1-a＞0，即a＜1，再由已知0＜b＜1+a，得到a的范圍．
（2）由（1）知1-a＜0，即a＞1時，x的解在兩個實數之間，集合M=，若要M中的整數恰有3個，則，從而得到，求得a＜3，進而得到命題成立．
點評：本題主要考查一元二次不等式的應用，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．