已知0<b<1+a,記關(guān)于x的不等式(x-b)2>(ax)2的解集為M.
(1)若集合M中的整數(shù)有無限個,求a的范圍;
(2)若集合M中的整數(shù)恰有3個,求證:1<a<3.
分析:(1)由題意可得①若1-a=0,M={x|x<
b
2
 },顯然M中的整數(shù)有無限個,符合條件.②1-a≠0,若要有無數(shù)個整數(shù)解,則應(yīng)1-a>0,即a<1,再由已知0<b<1+a,得到a的范圍.
(2)由(1)知1-a<0,即a>1時,x的解在兩個實數(shù)之間,集合M={x|
b
1-a
<x<
b
1+a
}
,若要M中的整數(shù)恰有3個,則-3≤
b
1-a
<-2
,從而得到2<
b
1-a
1+a
1-a
,求得a<3,進(jìn)而得到命題成立.
解答:解:(1)由(x-b)2>(ax)2 得[(1+a)x-b][(1-a)x-b]>0,由于0<b<1+a,
①若1-a=0,即a=1時,不等式化為(2x-b)(-b)>0,
解得M={x|x<
b
2
 },顯然M中的整數(shù)有無限個,符合條件.
②1-a≠0,即a≠1時,若要有無數(shù)個整數(shù)解,則應(yīng)1-a>0,即a<1;
再由已知條件0<b<1+a,可得a>-1.
綜上可知-1<a≤1.
(2)由(1)知1-a<0,即a>1時,x的解在兩個實數(shù)之間,不等式即(x-
b
1+a
)(x-
b
1-a
)<0,
又可得0<
b
1+a
<1,
b
1-a
<0
,所以集合M={x|
b
1-a
<x<
b
1+a
}

若要M中的整數(shù)恰有3個,則 -3≤
b
1-a
<-2,即 2<
b
1-a
≤3
,
所以,2<
b
1-a
1+a
1-a
,解得a<3.
綜上可知1<a<3.
點評:本題主要考查一元二次不等式的應(yīng)用,體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知0<b<1+a,若關(guān)于x的不等式(x-b)2>(ax)2的解集中的整數(shù)恰有3個,則(     )

       A.-1<a<0        B.0<a<1          C.1<a<3              D.3<a<6

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知0<b<1+a,記關(guān)于x的不等式(x-b)2>(ax)2的解集為M.
(1)若集合M中的整數(shù)有無限個,求a的范圍;
(2)若集合M中的整數(shù)恰有3個,求證:1<a<3.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:單選題

已知0<b<1+a,若關(guān)于x的不等式(x-b)2>(ax)2的解集中的整數(shù)恰有3個,則


  1. A.
    -1<a<0
  2. B.
    0<a<1
  3. C.
    1<a<3
  4. D.
    3<a<6

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年浙江省金華一中高三(上)期中數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知0<b<1+a,記關(guān)于x的不等式(x-b)2>(ax)2的解集為M.
(1)若集合M中的整數(shù)有無限個,求a的范圍;
(2)若集合M中的整數(shù)恰有3個,求證:1<a<3.

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