Question

甲、乙、丙三人獨立破譯同一份密碼，已知甲、乙、丙各自破譯出密碼的概率分別為

1

2

、

1

3

、p，且他們是否破譯出密碼互不影響，若三人中只有甲破譯出密碼的概率為

1

4

．
（1）求p的值．
（2）設甲、乙、丙三人中破譯出密碼的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望E（X）．

Answer 1

分析：（1）記事件A為“只有甲破譯出密碼”，可知：P(A)=

1

2

×(1-

1

3

)×(1-p)=

1

4

，解得P即可．
（2）由甲、乙、丙各自破譯出密碼的概率分別為

1

2

、

1

3

、

1

4

，利用相為對立事件的概率計算公式可得三個人不能夠破譯出密碼的概率．X的可能取值為0、1，、2、3；P（X=0）表示三個人都沒有能夠破譯出密碼的概率，故P(X=0)=(1-

1

2

)×(1-

1

3

)×(1-

1

4

)=

1

4

；依此類推可得P（X=1），P（X=2），P（X=3）及其分布列和數(shù)學期望．

解答：解：（1）記事件A為“只有甲破譯出密碼”，
則P(A)=

1

2

×(1-

1

3

)×(1-p)=

1

4

，可解得p=

1

4

．
（2）X的可能取值為0、1，、2、3；
P(X=0)=(1-

1

2

)×(1-

1

3

)×(1-

1

4

)=

1

4

；P(X=1)=

1

2

×(1-

1

3

)×(1-

1

4

)+(1-

1

2

)×

1

3

×(1-

1

4

)+(1-

1

2

)×(1-

1

3

)×

1

4

=

11

24

；P(X=2)=

1

2

×

1

3

×(1-

1

4

)+

1

2

×(1-

1

3

)×

1

4

+(1-

1

2

)×

1

3

×

1

4

=

1

4

；
P(X=3)=

1

2

×

1

3

×

1

4

=

1

24

．

X	0	1	2	3
P	1 4	11 24	1 4	1 24

E(X)=0×

1

4

+1×

11

24

+2×

1

4

+3×

1

24

=

13

12

．

點評：本題考查了隨機變量的概率計算方法和分布列及其數(shù)學期望、相互獨立事件的概率計算公式，屬于中檔題．