Question

直線(xiàn)L₁，L₂都過(guò)點(diǎn)（1，-2）且互相垂直，若拋物線(xiàn)y=ax²與兩直線(xiàn)中至少一條相交，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：由題意直線(xiàn)l₁，l₂的斜率分別設(shè)為k₁，k₂，過(guò)點(diǎn)P（1，-2）的直線(xiàn)設(shè)為y=k（x-1）-2，由由y=k（x-1）-2與拋物線(xiàn)y=ax²聯(lián)立，得ax²-kx+k+2=0，由直線(xiàn)l₁、l₂都過(guò)點(diǎn)P（1，-2）且都與拋物線(xiàn)相切，知a≠0，△=k²-4ak-8a≥0，再由l₁⊥l₂，能求出a的取值范圍．

解答： 解：由題意直線(xiàn)L₁，L₂的斜率，分別設(shè)為k₁，k₂，
過(guò)點(diǎn)P（1，-2）的直線(xiàn)設(shè)為y=k（x-1）-2，
由y=k（x-1）-2與拋物線(xiàn)y=ax²聯(lián)立，得ax²-kx+k+2=0，
∵拋物線(xiàn)y=ax²與兩直線(xiàn)中至少一條相交，
∴a≠0，△=k²-4ak-8a≥0
∵l₁⊥l₂，
∴k₁k₂=

k+2

a

=-1，
∴k=-a-2，
∴（-a-2）²-4（-a-2）a-8a≥0，
∴5a²+4a+4≥0，恒成立
斜率不存在時(shí)，同樣成立．
∴a≠0．

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)幾何量的轉(zhuǎn)化考查用待定系數(shù)法求曲線(xiàn)方程的能力，通過(guò)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系處理，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．通過(guò)向量與幾何問(wèn)題的綜合，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力，探究研究問(wèn)題的能力，并體現(xiàn)了合理消元，設(shè)而不解的代數(shù)變形的思想．