設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)都為正數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn,已知對(duì)任意n∈N*,Sn是a和an的等差中項(xiàng).
(1)證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)證明<2.
(1)an=n.(2)見解析
【解析】(1)由已知得,2Sn=+an,且an>0,
當(dāng)n=1時(shí),2a1=+a1,解得a1=1(a1=0舍去);
當(dāng)n≥2時(shí),有2Sn-1=+an-1.
于是2Sn-2Sn-1=-+an-an-1,
即2an=-+an-an-1.
于是-=an+an-1,即(an+an-1)(an-an-1)=an+an-1.
因?yàn)?/span>an+an-1>0,所以an-an-1=1(n≥2).
故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n.
(2)證明:因?yàn)?/span>an=n,則Sn=,,
所以=2=2<2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014年高考數(shù)學(xué)(文)二輪專題復(fù)習(xí)與測(cè)試專題6第2課時(shí)練習(xí)卷(解析版) 題型:選擇題
投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次,記“硬幣正面向上”為事件A,“骰子向上的點(diǎn)數(shù)是3”為事件B,則事件A,B中至少有一個(gè)發(fā)生的概率是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014年高考數(shù)學(xué)(文)二輪專題復(fù)習(xí)與測(cè)試專題4第2課時(shí)練習(xí)卷(解析版) 題型:解答題
如圖,點(diǎn)C是以AB為直徑的圓上的一點(diǎn),直角梯形BCDE所在平面與圓O所在平面垂直,且DE∥BC,DC⊥BC,DE=BC.
(1)證明:EO∥平面ACD;
(2)證明:平面ACD⊥平面BCDE.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014年高考數(shù)學(xué)(文)二輪專題復(fù)習(xí)與測(cè)試專題4第1課時(shí)練習(xí)卷(解析版) 題型:填空題
如圖,水平放置的三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均為2,且側(cè)棱AA1⊥底面A1B1C1,正(主)視圖是邊長(zhǎng)為2的正方形,則該三棱柱的側(cè)(左)視圖的面積為________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014年高考數(shù)學(xué)(文)二輪專題復(fù)習(xí)與測(cè)試專題3第3課時(shí)練習(xí)卷(解析版) 題型:解答題
已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1= (n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an;
(2)若數(shù)列{bn}滿足bn=(3n-1)an,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,若不等式(-1)nλ<Tn對(duì)一切n∈N*恒成立,求λ的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014年高考數(shù)學(xué)(文)二輪專題復(fù)習(xí)與測(cè)試專題3第2課時(shí)練習(xí)卷(解析版) 題型:選擇題
已知函數(shù)f(x)=xa的圖象過點(diǎn)(4,2),令an=,n∈N*.記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則S2 013=( )
A.-1 B.-1
C.-1 D.+1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014年高考數(shù)學(xué)(文)二輪專題復(fù)習(xí)與測(cè)試專題3第1課時(shí)練習(xí)卷(解析版) 題型:解答題
某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn),以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù):
①sin213°+cos217°-sin 13°cos 17°;
②sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°;
③sin218°+cos212°-sin 18°cos 12°;
④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos 48°;
⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos 55°.
(1)試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè),求出這個(gè)常數(shù);
(2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果,將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式,并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014年高考數(shù)學(xué)(文)二輪專題復(fù)習(xí)與測(cè)試專題2第3課時(shí)練習(xí)卷(解析版) 題型:填空題
已知向量a,b的夾角為120°,且|a|=1,|b|=2,則向量a-b在向量a+b方向上的投影是________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014年高考數(shù)學(xué)(文)二輪專題復(fù)習(xí)與測(cè)試專題1第6課時(shí)練習(xí)卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2-4(a∈R).
(1)若函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)P(1,f(1))處的切線的傾斜角為,求f(x)在[-1,1]上的最小值;
(2)若存在x0∈(0,+∞),使f(x0)>0,求a的取值范圍.
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