Question

【題目】如圖，在四棱錐中，四邊形為平行四邊形，，平面，，.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）由題意知為，利用等腰三角形三線合一的思想得出，由平面可得出，再利用直線與平面垂直的判定定理可得出平面；

（2）以點為坐標原點，、所在直線分別為軸、軸建立空間直角坐標系，計算出平面和平面的法向量，然后利用空間向量法計算出二面角的余弦值.

（1）因為四邊形是平行四邊形，，所以為的中點.

又，所以.

因為平面，平面，所以.

又，平面，平面，故平面；

（2）因為，以為原點建立空間直角坐標系如下圖所示，

設，則、、、，

所以，，，

設平面的一個法向量為，則，所以，

得，令，則，，所以.

同理可求得平面的一個法向量，

所以.

又分析知，二面角的平面角為銳角，

所以二面角的余弦值為.