【題目】n為正整數(shù),集合A=對于集合A中的任意元素,

M=

n=3, MM的值;

n=4,BA的子集,且滿足對于B中的任意元素相同時,M是奇數(shù)不同時,M是偶數(shù).求集合B中元素個數(shù)的最大值

給定不小于2nBA的子集,且滿足對于B中的任意兩個不同的元素

M=0.寫出一個集合B,使其元素個數(shù)最多并說明理由.

【答案】(1) M(α,β=1

(2) 最大值為4

(3)答案見解析

【解析】分析:(1)根據(jù)定義對應代入可得MM的值;(2)先根據(jù)定義得M(α,α)= x1+x2+x3+x4再根據(jù)x1x 2,x3x4{0,1},且x1+x2+x3+x4為奇數(shù),確定x1x 2,x3x41的個數(shù)為13.可得B元素最多為8個,再根據(jù)當不同時,M是偶數(shù)代入驗證,這8個不能同時取得,最多四個,最后取一個四元集合滿足條件,即得B中元素個數(shù)的最大值;(3)因為M)=0,所以不能同時取1,所以取n+1個元素,再利用A的一個拆分說明B中元素最多n+1個元素,即得結果.

詳解:解:Ⅰ)因為α=1,10),β=0,11),所以

M(αα)= [(1+1|11|)+(1+1|11|)+(0+0|00|)]=2,

M(α,β= [(1+0–|10|)+(1+1–|1–1|)+(0+1–|0–1|)]=1

)設α=x1,x 2x3,x4B,則M(α,α= x1+x2+x3+x4

由題意知x1x 2,x3,x4∈{01},且M(α,α)為奇數(shù),

所以x1,x 2x3,x41的個數(shù)為13

所以B{(1,00,0),(0,1,00),(00,1,0),(0,00,1),(0,11,1)(1,01,1),(11,0,1)(1,11,0)}.

將上述集合中的元素分成如下四組:

1,0,0,0)(1,1,1,0);(01,00),(11,0,1);(0,01,0),(1,0,1,1);(0,0,01),(01,11).

經(jīng)驗證,對于每組中兩個元素α,β,均有M(α,β=1.

所以每組中的兩個元素不可能同時是集合B的元素

所以集合B中元素的個數(shù)不超過4.

又集合{1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,00,1)}滿足條件,

所以集合B中元素個數(shù)的最大值為4.

)設Sk=( x1,x 2,xn|( x1,x 2,,xnA,xk=1,x1=x2=…=xk–1=0)(k=12,,n),

Sn+1={( x1,x 2,xn| x1=x2=…=xn=0}

A=S1S1∪…∪Sn+1

對于Skk=1,2,n–1)中的不同元素α,β,經(jīng)驗證,M(α,β)≥1.

所以Skk=1,2 ,n–1)中的兩個元素不可能同時是集合B的元素

所以B中元素的個數(shù)不超過n+1.

ek=( x1x 2,xnSkxk+1=…=xn=0k=1,2,n–1.

B=e1e2,en–1SnSn+1,則集合B的元素個數(shù)為n+1,且滿足條件.

B是一個滿足條件且元素個數(shù)最多的集合.

練習冊系列答案
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第一套

第二套

椅子高度

40.0

37.0

課桌高度

75.0

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