如圖,已知三棱柱ABC-A
1B
1C
1的所有棱長都相等,且側(cè)棱垂直于底面,由
B沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱C C
1到點A
1的最短路線長為
,設(shè)這條最短路線與CC
1的交
點為D.
(1)求三棱柱ABC-A
1B
1C
1的體積;
(2)在平面A
1BD內(nèi)是否存在過點D的直線與平面ABC平行?證明你的判斷;
(3)證明:平面A
1BD⊥平面A
1ABB
1.
(1)
(2)在平面A
1BD內(nèi)存在過點D的直線與平面ABC平行
(3)證明見解析
(1)如圖,將側(cè)面BB
1C
1C繞棱CC
1旋轉(zhuǎn)120°使其與側(cè)面AA
1C
1C在同一平面上,點B運(yùn)動到點B
2的位置,連接A
1B
2,則A
1B
2就是由點B沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱CC
1到點A
1的最短路線。 ……………………………………1分
設(shè)棱柱的棱長為
,則B
2C=AC=AA
1=
,
∵CD∥AA
1 ∴D為CC
1的中點,……………………………2分
在Rt△A
1AB
2中,由勾股定理得
,
即
解得
,……………………4分
∵
∴
……………………………………6分
(2)設(shè)A
1B與AB
1的交點為O,連結(jié)BB
2,OD,則
……………………………7分
∵
平面
,
平面
∴
平面
,
即在平面A
1BD內(nèi)存在過點D的直線與平面ABC平行 ……………………………9分
(3)連結(jié)AD,B
1D∵
≌
≌
∴
∴
……………………………11分
∵
∴
平面A
1ABB
1 ……………………………13分
又∵
平面A
1BD ∴平面A
1BD⊥平面A
1ABB
1 ……………………………………14分
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)
如圖3,在正三棱柱
中,
AB=4,
,點
D是
BC的中點,
點
E在
AC上,且
DEE。
(Ⅰ)證明:平面
平面
;
(Ⅱ)求直線
AD和平面
所成角的正弦值。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖,在四棱錐P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,∠
, AB∥CD,AD=CD=2AB=2,E,F(xiàn)分別是PC,CD的中點.
(Ⅰ)證明:CD⊥平面BEF;
(Ⅱ)設(shè)
,
求
k的值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖,邊長為2的等邊△
PCD所在的平面垂直于矩形
ABCD所在的平面,
BC=
,
M為BC的中點
(Ⅰ)證明:
AM⊥
PM ;
(Ⅱ)求二面角
P-
AM-
D的大;
(Ⅲ)求點
D到平面
AMP的距離
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖,
已知正三棱柱
的底面邊長是2,
D是側(cè)棱
的中點,平面
ABD和平面
的交線為
MN.
(Ⅰ)試證明
;
(Ⅱ)若直線
AD與側(cè)面
所成的角為
,試求二面角
的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖,四棱錐
P-
ABCD的底面是矩形,側(cè)面
PAD是正三角形,且側(cè)面
PAD⊥底面
ABCD,
E為側(cè)棱
PD的中點.
(I)試判斷直線
PB與平面
EAC的關(guān)系
(文科不必證明,理科必須證明);
(II)求證:
AE⊥平面
PCD;
(III)若
AD=
AB,試求二面角
A-
PC-
D的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖組合體中,三棱柱
的側(cè)面
是圓柱的軸截面,
是圓柱底面圓周上不與
重合一個點。
(Ⅰ)求證:無論點
如何運(yùn)動,平面
平面
;
(Ⅱ)當(dāng)點
是弧
的中點時,求四棱錐
與圓柱的體積比。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖,PC⊥平面ABC,PM∥CB,∠ACB=120°,PM=AC=1,BC=2,異面直線AM與直線PC所成的角為60°.
(Ⅰ)求二面角M-AC-B大小的正切值;
(Ⅱ)求三棱錐P-MAC的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖,在四棱錐P—ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°且邊長為1的菱形。側(cè)面PAD是正三角形,其所在側(cè)面垂直底面ABCD,G是AD中點。
(1)求異面直線BG與PC所成的角;
(2)求點G到面PBC的距離;
(3)若E是BC邊上的中點,能否在棱PC上找到一點F,使平面DEF⊥平面ABCD,并說明理由。
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