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【題目】已知函數f(x)=ax3﹣3x2+1,若f(x)存在唯一的零點x0 , 且x0>0,則a的取值范圍為(
A.(﹣∞,﹣2)
B.(﹣∞,0)
C.(2,+∞)
D.(1,+∞)

【答案】A
【解析】解:當a=0時,f(x)=﹣3x2+1=0,解得x=± ,函數f(x)有兩個零點,不符合題意,應舍去;

當a>0時,令f′(x)=3ax2﹣6x=3ax(x﹣ )=0,解得x=0或x= >0,列表如下:

x

(﹣∞,0)

0

(0,

,+∞)

f′(x)

+

0

0

+

f(x)

單調遞增

極大值

單調遞減

極小值

單調遞增

∵x→﹣∞,f(x)→﹣∞,而f(0)=1>0,∴存在x<0,使得f(x)=0,

不符合條件:f(x)存在唯一的零點x0,且x0>0,應舍去.

當a<0時,f′(x)=3ax2﹣6x=3ax(x﹣ )=0,解得x=0或x= <0,列表如下:

x

(﹣∞,

,0)

0

(0,+∞)

f′(x)

0

+

0

f(x)

單調遞減

極小值

單調遞增

極大值

單調遞減

而f(0)=1>0,x→+∞時,f(x)→﹣∞,∴存在x0>0,使得f(x0)=0,

∵f(x)存在唯一的零點x0,且x0>0,∴極小值f( )=a( 3﹣3( 2+1>0,

化為a2>4,

∵a<0,∴a<﹣2.

綜上可知:a的取值范圍是(﹣∞,﹣2).

故選:A.

練習冊系列答案
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一年級

二年級

三年級

男同學

A

B

C

女同學

X

Y

Z


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