已知橢圓(a>b>0)的離心率為,且過點().
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè)直線l:y=kx+t與圓(1<R<2)相切于點A,且l與橢圓E只有一個公共點B.
①求證:;
②當(dāng)R為何值時,取得最大值?并求出最大值.
(1);(2)①證明見解析;②時,取得最大值為1.
解析試題分析:(1)橢圓的離心率為,又橢圓過已知點,即,再加上,聯(lián)立可求得;(2)直線與圓及橢圓都相切,因此可以把直線方程與橢圓方程(或圓方程)聯(lián)立方程組,此方程組只有一解,由此可得到題中參數(shù)的關(guān)系式,當(dāng)然直線與圓相切,可利用圓心到直線的距離等于圓的半徑來列式,得到的兩個等式中消去參數(shù)即可證得①式;而②要求的最大值,可先求出,注意到,因此,這里設(shè),由①中的方程(組)可求得,最終把用表示,,利用不等式知識就可求得最大值.
試題解析:(1)橢圓E的方程為 4分
(2)①因為直線與圓C:相切于A,得,
即① 5分
又因為與橢圓E只有一個公共點B,
由得,且此方程有唯一解.
則即
②由①②,得 8分
②設(shè),由得
由韋達定理,
∵點在橢圓上,∴
∴ 10分
在直角三角形OAB中,
∴ 12分
考點:橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與圓相切,直線與橢圓相切.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
給定橢圓.稱圓心在原點O,半徑為的圓是橢圓C的“準(zhǔn)圓”.若橢圓C的一個焦點為,其短軸上的一個端點到F的距離為.
(1)求橢圓C的方程和其“準(zhǔn)圓”方程;
(2)點P是橢圓C的“準(zhǔn)圓”上的一個動點,過動點P作直線,使得與橢圓C都只有一個交點,試判斷是否垂直?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知橢圓的左、右焦點分別為,其上頂點為已知是邊長為的正三角形.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點任作一動直線交橢圓于兩點,記.若在線段上取一點,使得,當(dāng)直線運動時,點在某一定直線上運動,求出該定直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓C:(a>b>0),過點(0,1),且離心率為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)A,B為橢圓C的左右頂點,直線l:x=2與x軸交于點D,點P是橢圓C上異于A,B的動點,直線AP,BP分別交直線l于E,F(xiàn)兩點.證明:當(dāng)點P在橢圓C上運動時,恒為定值.
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如圖,已知平面內(nèi)一動點到兩個定點、的距離之和為,線段的長為.
(1)求動點的軌跡;
(2)當(dāng)時,過點作直線與軌跡交于、兩點,且點在線段的上方,線段的垂直平分線為
①求的面積的最大值;
②軌跡上是否存在除、外的兩點、關(guān)于直線對稱,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知點在拋物線上,直線(,且)與拋物線,相交于、兩點,直線、分別交直線于點、.
(1)求的值;
(2)若,求直線的方程;
(3)試判斷以線段為直徑的圓是否恒過兩個定點?若是,求這兩個定點的坐標(biāo);若不是,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知拋物線,直線,是拋物線的焦點。
(1)在拋物線上求一點,使點到直線的距離最;
(2)如圖,過點作直線交拋物線于A、B兩點.
①若直線AB的傾斜角為,求弦AB的長度;
②若直線AO、BO分別交直線于兩點,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)曲線C1:所圍成的封閉圖形的面積為,曲線C1上的點到原點O的最短距離為.以曲線C1與坐標(biāo)軸的交點為頂點的橢圓記為C2.
(1)求橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)AB是過橢圓C2中心O的任意弦,l是線段AB的垂直平分線.M是l上的點(與O不重合).
①若MO=2OA,當(dāng)點A在橢圓C2上運動時,求點M的軌跡方程;
②若M是l與橢圓C2的交點,求△AMB的面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知圓 ,若橢圓的右頂點為圓的圓心,離心率為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若存在直線,使得直線與橢圓分別交于兩點,與圓分別交于兩點,點在線段上,且,求圓的半徑的取值范圍.
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