已知橢圓C:(a>b>0),過點(diǎn)(0,1),且離心率為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)A,B為橢圓C的左右頂點(diǎn),直線l:x=2與x軸交于點(diǎn)D,點(diǎn)P是橢圓C上異于A,B的動(dòng)點(diǎn),直線AP,BP分別交直線l于E,F(xiàn)兩點(diǎn).證明:當(dāng)點(diǎn)P在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí),恒為定值.
(1),(2)1.
解析試題分析:(1)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,基本方法為待定系數(shù)法.只需兩個(gè)獨(dú)立條件確定即可. 由b=1,可解得a=2,故橢圓的方程為,(2)證明橢圓定值問題,實(shí)際是以算代征.即需計(jì)算出為一個(gè)常數(shù).由于點(diǎn)D在x軸上,所以,即只需計(jì)算E,F(xiàn)兩點(diǎn)縱坐標(biāo). 由直線AP: 與直線l:x=2的交點(diǎn)得: ,即,同理可得,因此==1。
試題解析:(1)由題意可知,b=1,
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/05/3/13zdd2.png" style="vertical-align:middle;" />,且a2=b2+c2,解得a=2
所以橢圓的方程為 4
(2)由題意可得:A(﹣2,0),B(2,0).
設(shè)P(x0,y0),由題意可得:﹣2<x0<2,
所以直線AP的方程為 6
令,則,即 8
同理:直線BP的方程為,令,則,
即 10
所以
= ..12
而,即4y02=4﹣x02,代入上式,
所以|DE|·|DF|=1,所以|DE|·|DF|為定值1. 14
考點(diǎn):橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓位置關(guān)系
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,F(xiàn)是拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn),M是拋物線C上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn),過M,F(xiàn),O三點(diǎn)的圓的圓心為Q,點(diǎn)Q到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為.
(1)求拋物線C的方程;
(2)是否存在點(diǎn)M,使得直線MQ與拋物線C相切于點(diǎn)M?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓的離心率為,過橢圓右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦與.當(dāng)直線斜率為0時(shí),.
(1)求橢圓的方程;
(2)求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2,動(dòng)直線l:y=kx+m與圓相切,且與雙曲線左、右兩支的交點(diǎn)分別為.
(1)求k的取值范圍,并求的最小值;
(2)記直線的斜率為,直線的斜率為,那么是定值嗎?證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè):的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn),焦點(diǎn)為;橢圓以為焦點(diǎn),離心率.設(shè)是的一個(gè)交點(diǎn).
(1)當(dāng)時(shí),求橢圓的方程.
(2)在(1)的條件下,直線過的右焦點(diǎn),與交于兩點(diǎn),且等于的周長,求的方程.
(3)求所有正實(shí)數(shù),使得的邊長是連續(xù)正整數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知拋物線的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)M,過點(diǎn)M作圓的兩條切線,切點(diǎn)為A、B,.
(1)求拋物線E的方程;
(2)過拋物線E上的點(diǎn)N作圓C的兩條切線,切點(diǎn)分別為P、Q,若P,Q,O(O為原點(diǎn))三點(diǎn)共線,求點(diǎn)N的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓(a>b>0)的離心率為,且過點(diǎn)().
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè)直線l:y=kx+t與圓(1<R<2)相切于點(diǎn)A,且l與橢圓E只有一個(gè)公共點(diǎn)B.
①求證:;
②當(dāng)R為何值時(shí),取得最大值?并求出最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知平面上的動(dòng)點(diǎn)P(x,y)及兩個(gè)定點(diǎn)A(-2,0),B(2,0),直線PA,PB的斜率分別為K1,K2且K1K2=-
(1).求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C方程;
(2).設(shè)直線L:y=kx+m與曲線C交于不同兩點(diǎn),M,N,當(dāng)OM⊥ON時(shí),求O點(diǎn)到直線L的距離(O為坐標(biāo)原點(diǎn))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,橢圓 (a>b>0)的上、下頂點(diǎn)分別為A、B,已知點(diǎn)B在直線l:上,且橢圓的離心率e =.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)P是橢圓上異于A、B的任意一點(diǎn),PQ⊥y軸,Q為垂足,M為線段PQ中點(diǎn),直線AM交直線l于點(diǎn)C,N為線段BC的中點(diǎn),求證:OM⊥MN.
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