Question

【題目】已知函數(shù).

(1)若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(2)若函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，證明： .

Answer 1

【答案】(1) ；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：（1）由條件可知恒成立，通過參變分離的方法得到恒成立，即 轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值，即求的取值范圍；（2）根據(jù)條件可知， 和 ，經(jīng)過變形整理為 ，經(jīng)過換元，可將問題轉(zhuǎn)化為證明 ，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，即可證明.

試題解析：(1)由函數(shù)在上是減函數(shù)，知恒成立，

.

由恒成立可知恒成立，則，

設(shè)，則，

由， 知，

函數(shù)在上遞增，在上遞減，∴，

∴.

(2)由(1)知.

由函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，知，

則且，

聯(lián)立得，即，

設(shè)，則，

要證，

只需證，只需證，只需證.

構(gòu)造函數(shù)，則.

故在上遞增， ，即，

所以.