Question

【題目】已知M是正四面體ABCD棱AB的中點(diǎn)，N是棱CD上異于端點(diǎn)C，D的任一點(diǎn)，則下列結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)有（　�。�
（1）MN⊥AB；
（2）若N為中點(diǎn)，則MN與AD所成角為60°；
（3）平面CDM⊥平面ABN；
（4）不存在點(diǎn)N，使得過MN的平面與AC垂直．
A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：（1）連結(jié)MC，MD，由三角形三線合一可得AB⊥CM，AB⊥DM，∴AB⊥平面MCD，
∵M(jìn)N平面MCD，∴AB⊥MN，故（1）正確；
（2）取BD中點(diǎn)E，連結(jié)ME，NE，則∠NME為MN與AD所成角，
連結(jié)BN，由（1）知BM⊥MN，設(shè)正四面體棱長為1，則BM= ， BN= ， ∴MN= ，
ME=NE= ， ∴cos∠NME== ， ∴∠NME=45°，故（2）不正確；
（3）由（1）知AB⊥平面CDM，∵AB平面ABN，∴平面CDM⊥平面ABN，故（3）正確；
（4）取BC早點(diǎn)F，連結(jié)MF，DF，假設(shè)存在點(diǎn)N，使得過MN的平面與AC垂直，
∴AC⊥MN，∵M(jìn)F∥AC，∴MF⊥MN，
∵DF=DM= ， ∴∠FMD＜90°，同理，∠CMF＜90°．
當(dāng)N從D向C移動(dòng)時(shí)，∠FMN先減小，后增大，故∠FMN＜90°，與MF⊥MN矛盾．
∴不存在點(diǎn)N，使得過MN的平面與AC垂直，故（4）正確．
故選：C．

【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的平面與平面垂直的判定，需要了解一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直才能得出正確答案．