【題目】正方體中,點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)(包括端點(diǎn)),則與所成角的取值范圍是_______.
【答案】
【解析】分析:建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,設(shè)動(dòng)點(diǎn)的的坐標(biāo),根據(jù)棱長(zhǎng)寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而寫(xiě)出向量的坐標(biāo),用夾角公式寫(xiě)出向量夾角的余弦值,根據(jù)二次函數(shù)及余弦函數(shù)的性質(zhì)取最大、最小值,進(jìn)而可求角的取值范圍。
詳解:以點(diǎn)C為圓心,分別以為軸,建立空間直角坐標(biāo)系。
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則 、 。
設(shè)點(diǎn) 。
則
設(shè)與的夾角為,由夾角公式得
當(dāng)時(shí), 取最大值,根據(jù)余弦函數(shù)在上為減函數(shù),
因?yàn)?/span>,所以此時(shí)取最小值。
因?yàn)辄c(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)(包括端點(diǎn)),所以。
根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性可知當(dāng)時(shí), 取最小值 。
根據(jù)余弦函數(shù)在上為減函數(shù),因?yàn)?/span>,所以此時(shí)取最大值。
所以,
所以與所成角的取值范圍是 。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】微信是現(xiàn)代生活進(jìn)行信息交流的重要工具,據(jù)統(tǒng)計(jì),某公司名員工中的人使用微信,其中每天使用微信時(shí)間在一小時(shí)以內(nèi)的有人,其余每天使用微信在一小時(shí)以上.若將員工年齡分成青年(年齡小于歲)和中年(年齡不小于歲)兩個(gè)階段,使用微信的人中是青年人.若規(guī)定:每天使用微信時(shí)間在一小時(shí)以上為經(jīng)常使用微信,經(jīng)常使用微信的員工中是青年人.
(Ⅰ)若要調(diào)查該公司使用微信的員工經(jīng)常使用微信與年齡的關(guān)系,列出列聯(lián)表;
青年人 | 中年人 | 合計(jì) | |
經(jīng)常使用微信 | |||
不經(jīng)常使用微信 | |||
合計(jì) |
(Ⅱ)由列聯(lián)表中所得數(shù)據(jù),是否有的把握認(rèn)為“經(jīng)常使用微信與年齡有關(guān)”?
(Ⅲ)采用分層抽樣的方法從“經(jīng)常使用微信”的人中抽取人,從這人中任選人,求事件 “選出的人均是青年人”的概率.
附:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)= x3﹣(1+a)x2+4ax+24a,其中常數(shù)a>1
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)若當(dāng)x≥0時(shí),f(x)>0恒成立,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列命題中正確命題的個(gè)數(shù)是( )
(1)cosα≠0是 的充分必要條件
(2)f(x)=|sinx|+|cosx|,則f(x)最小正周期是π
(3)若將一組樣本數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上同一個(gè)常數(shù)后,則樣本的方差不變
(4)設(shè)隨機(jī)變量ζ服從正態(tài)分布N(0,1),若P(ζ>1)=p,則 .
A.4
B.3
C.2
D.1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,若存在閉區(qū)間,使得函數(shù)滿足:①在上是單調(diào)函數(shù);②在上的值域是,則稱(chēng)區(qū)間是函數(shù)的“和諧區(qū)間”.下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A. 函數(shù)存在“和諧區(qū)間”
B. 函數(shù)不存在“和諧區(qū)間”
C. 函數(shù)存在“和諧區(qū)間”
D. 函數(shù) (且)不存在“和諧區(qū)間”
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí),求在處的切線方程;
(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知四棱錐P﹣ABCD,底面ABCD為菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E,F(xiàn)分別是BC,PC的中點(diǎn). (I)證明:AE⊥PD;
(II)H是PD上的動(dòng)點(diǎn),EH與平面PAD所成的最大角為45°,求二面角E﹣AF﹣C的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知曲線,,則下列結(jié)論正確的是( )
A. 把上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再把所有圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變),得到曲線
B. 把上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍(縱坐標(biāo)不變),得到曲線
C. 把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變),再把所得圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到曲線
D. 把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍(縱坐標(biāo)不變),再把所得圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到曲線
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),是偶函數(shù).
(1)求的值;
(2)若函數(shù)的圖象在直線上方,求的取值范圍;
(3)若函數(shù),,是否存在實(shí)數(shù)使得的最小值為0?若存在,求出的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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