Question

【題目】設(shè)函數(shù)，.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）討論函數(shù)的零點個數(shù)

Answer 1

【答案】（1）當時，函數(shù)的增區(qū)間是和，減區(qū)間是；

當時，函數(shù)的增區(qū)間是，無減區(qū)間；

當時，函數(shù)的增區(qū)間是和，減區(qū)間是．

（2）當時，函數(shù)存在唯一零點．

【解析】

（1）根據(jù)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟，先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后在定義域內(nèi)解含參的不等式，分類討論即可求出；

（2）由（1）可知函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點存在性定理即可判斷出函數(shù)的零點個數(shù)．

（1）函數(shù)的定義域為，

當時，由或，由；

當時，；

當時，由或，

綜上，當時，函數(shù)的增區(qū)間是和，減區(qū)間是；

當時，函數(shù)的增區(qū)間是，無減區(qū)間；

當時，函數(shù)的增區(qū)間是和，減區(qū)間是．

（2）由（1）可知，

①當時，函數(shù)在和上遞增，在上遞減，

所以，，，但是，

當時，，存在，故，即在上存在唯一零點；

②當時，函數(shù)在遞增，，，

即在上存在唯一零點；

③當時，函數(shù)在和上遞增，在上遞減，

所以，，，但是，

當時，，存在，故，即在上存在唯一零點．

綜上，當時，函數(shù)存在唯一零點．