【題目】在正方體AC1中,E,F分別為D1C1B1C1的中點,ACBDP,A1C1EFQ,如圖.

1)若A1C交平面EFBD于點R,證明:PQ,R三點共線.

2)線段AC上是否存在點M,使得平面B1D1M∥平面EFBD,若存在確定M的位置,若不存在說明理由.

【答案】1)證明見解析(2)存在;MAP中點

【解析】

根據(jù)題意,證明PQ,R是平面BDEF和平面BDD1B1的公共點,利用平面的公理3即可得證;

存在點MAP中點, 使平面B1D1M∥平面EFBD.AD中點G,AB中點H,連結(jié)GH,交AC于點M,連結(jié)D1G,B1H,利用線面平行的判定定理證明平面平面,由面面平行的判定定理即可得證.

1)證明:∵在正方體AC1中,E,F分別為D1C1B1C1的中點,

ACBDP,A1C1EFQ,A1C交平面EFBD于點R

P,QR是平面BDEF和平面BDD1B1的公共點,

PQ,R三點共線.

2)存在點MAP中點, 使平面B1D1M∥平面EFBD.

證明如下:AD中點GAB中點H,連結(jié)GH,交AC于點M,連結(jié)D1GB1H,如圖:

由題意得,GHEF,因為平面,平面

所以平面,

因為B1HDE,同理可證,平面,

又因為, 由面面平行的判定定理可得,

∴平面GHB1D1∥平面BDEF,

∴線段AC上存在點M,使得平面B1D1M∥平面EFBD,且MAP中點.

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