【題目】請先閱讀:
在等式cos2x=2cos2x﹣1(x∈R)的兩邊求導,得:(cos2x)′=(2cos2x﹣1)′,由求導法則,得(﹣sin2x)2=4cosx(﹣sinx),化簡得等式:sin2x=2cosxsinx.
(1)利用上題的想法(或其他方法),結合等式(1+x)n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn(x∈R,正整數(shù)n≥2),證明: .
(2)對于正整數(shù)n≥3,求證:
(i) ;
(ii) ;
(iii) .
【答案】
(1)
證明:在等式(1+x)n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn兩邊對x求導得n(1+x)n﹣1=Cn1+2Cn2x+…+(n﹣1)Cnn﹣1xn﹣2+nCnnxn﹣1
移項得 (*)
(2)
證明:(i)在(*)式中,令x=﹣1,整理得
所以
(ii)由(1)知n(1+x)n﹣1=Cn1+2Cn2x+…+(n﹣1)Cnn﹣1xn﹣2+nCnnxn﹣1,n≥3
兩邊對x求導,得n(n﹣1)(1+x)n﹣2=2Cn2+32Cn3x+…+n(n﹣1)Cnnxn﹣2
在上式中,令x=﹣1,得0=2Cn2+32Cn3(﹣1)+…+n(n﹣1)Cn2(﹣1)n﹣2
即 ,
亦即 (1)
又由(i)知 (2)
由(1)+(2)得
(iii)將等式(1+x)n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn兩邊在[0,1]上對x積分
由微積分基本定理,得
所以
【解析】(1)對二項式定理的展開式兩邊求導數(shù),移項得到恒等式.(2)(i)對(1)中的x 賦值﹣1,整理得到恒等式.(ii)對二項式的定理的兩邊對x求導數(shù),再對得到的等式對x兩邊求導數(shù),給x賦值﹣1化簡即得證.(iii)對二項式定理的兩邊求定積分;利用微積分基本定理求出兩邊的值,得到要證的等式.
【考點精析】本題主要考查了二項式定理的通項公式和類比推理的相關知識點,需要掌握二項式通項公式:;根據(jù)兩類不同事物之間具有某些類似(或一致)性,推測其中一類事物具有與另外一類事物類似的性質(zhì)的推理,叫做類比推理才能正確解答此題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x,y滿足f(x)+f(y)=f(x+y)+3,f(3)=6,當x>0 時,f(x)>3,那么,當f(2a+1)<5時,實數(shù)a的取值范圍是
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,且過點.
(1)求的方程;
(2)是否存在直線與相交于兩點,且滿足:①與(為坐標原點)的斜率之和為2;②直線與圓相切,若存在,求出的方程;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩名同學在5次英語口語測試中的成績統(tǒng)計如圖的莖葉圖所示.
(注:樣本數(shù)據(jù)x1 , x2 , …,xn的方差s2= [ + +…+ ],其中 表示樣本均值)
(1)現(xiàn)要從中選派一人參加英語口語競賽,從兩同學的平均成績和方差分析,派誰參加更合適;
(2)若將頻率視為概率,對學生甲在今后的三次英語口語競賽成績進行預測,記這三次成績中高于80分的次數(shù)為ξ,求ξ的分布列及數(shù)學期望Eξ.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知a為實數(shù),若函數(shù)f(x)=|x2+ax+2|﹣x2在區(qū)間(﹣∞,﹣1)和(2,+∞)上單調(diào)遞減,則實數(shù)a的取值范圍為 .
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