Question

【題目】已知y=f（x）是定義域為R的奇函數，當x∈[0，+∞）時，f（x）=x2﹣2x．
（Ⅰ）寫出函數y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）若方程f（x）=a恰有3個不同的解，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當x∈（﹣∞，0）時，﹣x∈（0，+∞），∵y=f（x）是奇函數，
∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（（﹣x）2﹣2（﹣x））=﹣x2﹣2x，
∴ ．
（Ⅱ）當x∈[0，+∞）時，f（x）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，最小值為﹣1；
∴當x∈（﹣∞，0）時，f（x）=﹣x2﹣2x=1﹣（x+1）2 ， 最大值為1．
∴據此可作出函數y=f（x）的圖象，根據圖象得，
若方程f（x）=a恰有3個不同的解，則a的取值范圍是（﹣1，1）．

【解析】（Ⅰ）利用函數的奇偶性，利用對稱性，寫出函數y=f（x）的解析式；（Ⅱ）求出函數f（x）的表達式，利用數形結合的思想求a的取值范圍．