Question

【題目】已知函數(shù)，且滿足.

（1）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義證明；

（2）設(shè)函數(shù)，若在上有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若存在實數(shù)，使得關(guān)于的方程恰有4個不同 的正根，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）在上為增函數(shù)；證明見解析；（2）；（3）.

【解析】

(1)由與可得,再判斷函數(shù)在上的單調(diào)性即可.

(2)根據(jù)(1)中的單調(diào)性,再求解在上的單調(diào)性,再根據(jù)函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行范圍分析即可.

(3)將方程化簡為,利用復(fù)合函數(shù)零點的方法,先分析關(guān)于的二次函數(shù)的根的問題,再根據(jù)零點存在性定理列式求不等式即可.

（1）由，得或0.

因為，所以，所以.

當(dāng)時，，任取，且，

則

，

因為，則，，

所以在上為增函數(shù)；

（2）由（1）可知，在上為增函數(shù),當(dāng)時，

同理可得在上為減函數(shù)，當(dāng)時，.

所以；

（3）方程可化為，

即.

設(shè),方程可化為.

要使原方程有4個不同的正根，

則方程在有兩個不等的根，

則有，解得，

所以實數(shù)m的取值范圍為.