【題目】(A)已知數(shù)列滿足,其中 .

(1)求 , ,并猜想的表達(dá)式(不必寫出證明過程);

(2)由(1)寫出數(shù)列的前項(xiàng)和,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

(B)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足, .

(1)猜想的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明;

(2)設(shè), ,求的最大值.

【答案】(A)(1)詳見解析;(2)詳見解析.(B)(1)詳見解析;(2).

【解析】試題分析:(A)(1)利用的遞推關(guān)系得到,從而求得,由此猜想.(2)由于是等比數(shù)列,利用前項(xiàng)和公式可得的表達(dá)式,然后利用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程證明結(jié)論. (B)(1)利用,和的遞推關(guān)系,可求得的值,由此猜想.然后利用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程證明結(jié)論. (2)利用,可求得的通項(xiàng)公式,代入并化簡,利用函數(shù)的單調(diào)性可求得其最大值.

試題解析:

(A)解(1)由題意, , , ,

, , ,

猜想得: .

(2)由(1),數(shù)列是以4為首項(xiàng),公比為2的等比數(shù)列,

則有,

證明:當(dāng)時(shí), 成立,

假設(shè)當(dāng)時(shí),有,

則當(dāng)時(shí), ,

綜上有成立.

(B)(1),

,得,

,得,

猜想得:

證明:當(dāng)時(shí), 成立,

假設(shè)當(dāng)時(shí),有,

則當(dāng)時(shí), , .

綜上, 成立.

(2)由(1),時(shí), ,

當(dāng)時(shí), 滿足止式,

所以,則 ,

設(shè),則有上為減函數(shù),在上為增函數(shù),因?yàn)?/span>,且,所以當(dāng)時(shí), 有最大值.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】有兩個(gè)不透明的箱子,每個(gè)箱子都裝有4個(gè)完全相同的小球,球上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4.

(1)甲從其中一個(gè)箱子中摸出一個(gè)球,乙從另一個(gè)箱子摸出一個(gè)球,誰摸出的球上標(biāo)的數(shù)字大誰就獲勝(若數(shù)字相同則為平局),求甲獲勝的概率;

(2)摸球方法與(1)同,若規(guī)定:兩人摸到的球上所標(biāo)數(shù)字相同甲獲勝,所標(biāo)數(shù)字不相同則乙獲勝,這樣規(guī)定公平嗎?請說明理由。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)為常數(shù), 是自然對數(shù)的底數(shù)),曲線在點(diǎn)處的切線方程是.

(1)求的值;(2)求的單調(diào)區(qū)間;

(3)設(shè)(其中的導(dǎo)函數(shù))。證明:對任意,

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖:某污水處理廠要在一個(gè)矩形污水處理池(的池底水平鋪設(shè)污水凈化管道(是直角頂點(diǎn))來處理污水,管道越長污水凈化效果越好,設(shè)計(jì)要求管道的的接口的中點(diǎn),分別落在線段上。已知米,米,記.

1試將污水凈化管道的長度表示為的函數(shù),并寫出定義域;

2,求此時(shí)管道的長度;

3當(dāng)取何值時(shí),污水凈化效果最好?并求出此時(shí)管道的長度。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù), .

(1)求函數(shù)在點(diǎn)點(diǎn)處的切線方程;

(2)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的極值點(diǎn)和極值;

(3)當(dāng)時(shí), 恒成立,求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】傳承傳統(tǒng)文化再掀熱潮,央視科教頻道以詩詞知識(shí)競賽為主的《中國詩詞大會(huì)》火爆熒屏,將中學(xué)組和大學(xué)組的參賽選手按成績分為優(yōu)秀、良好、一般三個(gè)等級(jí),隨機(jī)從中抽取了100名選手進(jìn)行調(diào)查,下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的選手等級(jí)人數(shù)的條形圖.

(1)若將一般等級(jí)和良好等級(jí)合稱為合格等級(jí),根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此資料你是否有95%的把握認(rèn)為選手成績“優(yōu)秀”與文化程度有關(guān)?

(2)若參賽選手共6萬人,用頻率估計(jì)概率,試估計(jì)其中優(yōu)秀等級(jí)的選手人數(shù);

(3)在優(yōu)秀等級(jí)的選手中取6名,依次編號(hào)為1,2,3,4,5,6,在良好等級(jí)的選手中取6名,依次編號(hào)為1,2,3,4,5,6,在選出的6名優(yōu)秀等級(jí)的選手中任取一名,記其編號(hào)為,在選出的6名良好等級(jí)的選手中任取一名,記其編號(hào)為,求使得方程組有唯一一組實(shí)數(shù)解的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某同學(xué)參加科普知識(shí)競賽,需回答3個(gè)問題,競賽規(guī)則規(guī)定:答對第一、二、三問題分別得100分、100分、200分,答錯(cuò)得零分,假設(shè)這名同學(xué)答對第一、二、三個(gè)問題的概率分別為0.8、0.7、0.6,且各題答對與否相互之間沒有影響.

(1)求這名同學(xué)得300分的概率;

(2)求這名同學(xué)至少得300分的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】關(guān)于空間直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn),有下列說法:

①點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為;

的中點(diǎn)坐標(biāo)為;

③點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為;

④點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為;

⑤點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.

其中正確的個(gè)數(shù)是

A. B. C. D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足

1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

2)求證:數(shù)列{an}中的任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列;

3)設(shè),Tn{bn}的前n項(xiàng)和,求證

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