Question

已知奇函數(shù)f（x）=

-2x+a

2x+1+b

（a，b∈R）． 
（1）求a與b的值；
（2）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）針對(duì)0∈D和若0∉D兩種情形進(jìn)行討論，利用奇函數(shù)這個(gè)條件建立關(guān)系式，求解相應(yīng)的值；
（2）直接利用指數(shù)函數(shù)的值域情形進(jìn)行求解．

解答： 解：（1）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，
①若0∈D，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）為奇函數(shù)，
∴f（0）=0，a=1，f（1）=-

1

4+b

，f（-1）=

1

2+2b

，
∵f（1）+f（-1）=0，
∴b=2，
②若0∉D，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）為奇函數(shù)，
根據(jù)（1），b=-2，
∵f（1）+f（-1）=0，
∴a=-1，
∴

a=1 b=2

或

a=-1 b=-2

（2）若a=1，b=2，
∴f（x）=

-2x+1

2x+1+2

，
∴2f（x）=

-2x+1

2x+1

=-1+

2

1+2x

，
∵1+2^x∈（1，+∞），
∴

2

1+2x

∈（0，2），
∴f（x）∈（-

1

2

，

1

2

）．
若a=-1，b=-2，
∵f（x）=

-2x-1

2x+1-2

，2f（x）=

-2x-1

2x-1

=-1-

2

2x-1

，
∴f（x）∈（-∞，

1

2

）∪（

1

2

，+∞）．
綜上，若a=1，b=2，函數(shù)f（x）的值域（-

1

2

，

1

2

）．
若a=-1，b=-2，函數(shù)f（x）的值域（-∞，

1

2

）∪（

1

2

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性與值域、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．