Question

在△ABC中，．
（1）若P是△ABC所在平面上一點，且||=2，∠CAP為銳角，，求||的最小值．
（2）滿足條件（1）的點P能否在△ABC的邊BC上？并說明理由．

Answer 1

解：（1）∵△ABC中，，∴
設(shè)∠CAP=α，α∈（0，），則∠BAP=-α，
又∵，||=2，
∴||•||cosα=2||•||cos（-α）=2，可得||=，||=，
因此，||²=+
=++10=++≥
故||的最小值為
（2）滿足條件（1）的點P不能在△ABC的邊BC上，理由如下：
以C為坐標(biāo)原點，分別以AC、AB為x、y軸正方向建立坐標(biāo)系，
由（1）中||=，||=，
可得直線AB的方程的方程為xcosα+2ysinα=1
又∵||=2，∠CAP=α，
故P點坐標(biāo)為（2cosα，2sinα），
將P代入AB的方程得2cos²α+4sin²α=2+2sin²α＞1，矛盾
故P點不在△ABC的邊BC上
分析：（1）設(shè)∠CAP=α，可得∠BAP=-α，結(jié)合且||=2，可得||=，||=．利用向量模的性質(zhì)，可得||²的表達(dá)式，再利用基本不等式即可算出||的最小值．
（2）由（1）中||=且||=，可求出直線AB的方程含有參數(shù)α的形式，再將P點坐標(biāo)代入直線方程加以驗證，即可得到結(jié)論是否成立．
點評：本題給出向量關(guān)系式，求動點的軌跡方程并討論模的最小值和點P位置等問題．著重考查了向量的模、基本不等式和點與直線的關(guān)系等知識點，屬于難題．