Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知的方程為，平面內兩定點、．當的半徑取最小值時：

（1）求出此時的值，并寫出的標準方程；

（2）在軸上是否存在異于點的另外一個點，使得對于上任意一點，總有為定值？若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明你的理由；

（3）在第（2）問的條件下，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）,（2）點F的坐標為,定值為2（3）

【解析】分析：（1）運用配方和二次函數的最值求法，即可得到所求圓的方程；（2）設P（x，y），定點F（m，0）（m為常數），運用兩點的距離公式，化簡整理，再由恒等式的性質，即可得到定點F的坐標和的定值；（3）由上問可知對于⊙C上任意一點P總有，可得||PG|﹣|PF||≤|FG|（當P、F、G三點共線時取等號），又，故2|PG|﹣|PE|∈[﹣5，5]．化簡μ的關系式，結合對勾函數的單調性，即可得到所求范圍．

詳解：

（1）⊙C的標準式為： ，

當時，⊙C的半徑取最小值，此時⊙C的標準方程為；

（2）設，定點（m為常數），則．

∵，∴，代入上式，

得： ．

由于λ取值與x無關，∴（舍去）．

此時點F的坐標為， 即；

（3）由上問可知對于⊙C上任意一點P總有，

故，

而（當P、F、G三點共線時取等號），

又，故．

∴

，

令，則，

根據對勾函數的單調性可得： ．