Question

過橢圓x²+4y²=4的右焦點F作直線l交橢圓于M、N兩點，設(shè)|

MN

|=

3

2

；
（1）求直線l的斜率；
（2）設(shè)M、N在橢圓右準(zhǔn)線上的射影分別是M₁、N₁，求

MN

•

M1N1

的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)直線l的傾斜角為θ，k=tanθ，F(

3

，0)，由

x2+4y2=4 y=k(x- 3 )

，得(1+4k2)x2-8

3

k2x+12k2-4=0，由韋達定理和|

MN

|=

3

2

=

1+k2

|x1-x2|能求出直線l的斜率．
（2）

MN

•

M1N1

=|

MN

|•|

M1N1

|cos(90°-θ)=|

MN

|2sin2θ，由k2=tan2θ= 

5

4

，知sin2θ=

5

9

，|

MN

|2=

9

4

，由此能求出

MN

•

M1N1

的值．

解答：解：（1）設(shè)直線l的傾斜角為θ，顯見θ≠90°，
k=tanθ，F(

3

，0)，
由

x2+4y2=4 y=k(x- 3 )

，得(1+4k2)x2-8

3

k2x+12k2-4=0，（2分）
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x1+x2=

8 3 k2

1+4k2

，x1x2=

12k2-4

1+4k2

，
∵|

MN

|=

3

2

=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

( 8 3  k2 1+4k2 )2-4× 12k2-4 1+4k2

，
整理，得

4k2+4

1+4k2

=

3

2

，
解得k2=

5

4

，∴k=±

5

2

．（6分）
（2）

MN

•

M1N1

=|

MN

|•|

M1N1

|cos(90°-θ)
=|

MN

|•|

MN

|cos2(90°-θ)
=|

MN

|2sin2θ，（9分）
k2=tan2θ= 

5

4

，
∴sin2θ=

5

9

，|

MN

|2=

9

4

，
∴

MN

•

M1N1

=

9

4

•

5

9

=

5

4

．（12分）

點評：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．