Question

11．在等差數(shù)列{a_n}中，a₁+a₃=10，d=3．令b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n；
（3）是否存在正整數(shù)m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求得首項a₁的值，則易求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）利用拆項法求得數(shù)列{b_n}的通項公式，則易求T_n；
（3）假設(shè)否存在正整數(shù)m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)得到$\frac{{m}^{2}}{（3m+2）^{2}}$=$\frac{n}{5（3n+2）}$，從而求得符合條件的m、n的值．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₁+a₃=10，d=3，得
$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+2d=10}\\{d=3}\end{array}\right.$，
解得a₁=2，
所以a_n=2+3（n-1）=3n-1（n∈N⁺）；
（2）由（1）知，a_n=3n-1．
所以b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（3n-1）[（3n+1）-1]}$=$\frac{1}{（3n-1）（3n+2）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-1}$-$\frac{1}{3n+2}$），
∴T_n=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{3n-1}$-$\frac{1}{3n+2}$）=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3n+2}$）=$\frac{n}{2（3n+2）}$；
（3）假設(shè)否存在正整數(shù)m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列，
由（2）知，T₁=$\frac{1}{10}$，T_m=$\frac{m}{2（3m+2）}$，T_n=$\frac{n}{2（3n+2）}$，
因為T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列，
所以（$\frac{m}{2（3m+2）}$）²=$\frac{1}{10}$×$\frac{n}{2（3n+2）}$，即$\frac{{m}^{2}}{（3m+2）^{2}}$=$\frac{n}{5（3n+2）}$，
整理，得
n（-3m²+6m+2）=5m²．（*）
①當m=2時，（*）式可化為2n=20，所以n=10．
②當m≥3時，-3m²+6m+2=-3（m-1）²+5≤-7＜0．
又因為5m²＞0，
所以（*）式可化為n=$\frac{5{m}^{2}}{-3{m}^{2}+6m+2}$＜0，
所以此時n無正整數(shù)解．
綜上可知，存在滿足條件的正整數(shù)m，n，此時m=2，n=10．

點評 本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，數(shù)列的裂項求和方法的應(yīng)用，屬于數(shù)列知識的綜合應(yīng)用．