已知函數(shù),.
(1)求函數(shù)的最小值;
(2)若,證明:當(dāng)時(shí),.

(1)h(0)=0;(2)證明過程詳見解析.

解析試題分析:本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、不等式的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力,考查學(xué)生的函數(shù)思想.第一問,先得到表達(dá)式,對(duì)求導(dǎo),利用“單調(diào)遞增;單調(diào)遞減”解不等式求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,利用函數(shù)的單調(diào)性確定最小值所在的位置;第二問,先將代入到所求的式子中,得到①式,再利用第一問的結(jié)論,即,即得到,通過,在上式中兩邊同乘得到②式,若成立則所求證的表達(dá)式成立,所以構(gòu)造函數(shù)φ(t)=(1-t)k-1+kt,證明即可.
(1)h(x)=f(x)-g(x)=ex-1-x,h¢(x)=ex-1.
當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),h¢(x)<0,h(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),h¢(x)>0,h(x)單調(diào)遞增.
當(dāng)x=0時(shí),h(x)取最小值h(0)=0.       4分
(2).   ①
由(1)知,,即
,則
所以.       ②  7分
設(shè)φ(t)=(1-t)k-1+kt,t∈[0,1].
由k>1知,當(dāng)t∈(0,1)時(shí),φ¢(t)=-k(1-t)k-1+k=k[1-(1-t)k]>0,
φ(t)在[0,1]單調(diào)遞增,當(dāng)t∈(0,1)時(shí),φ(t)>φ(0)=0.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/56/a/ri9kn.png" style="vertical-align:middle;" />,所以,
因此不等式②成立,從而不等式①成立.      12分
考點(diǎn):導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、不等式的基本性質(zhì).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=x2-alnx(a∈R).
(1)若函數(shù)f(x)的圖象在x=2處的切線方程為y=x+b,求a,b的值;
(2)若函數(shù)f(x)在(1,+∞)上為增函數(shù),求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知函數(shù),.
(1)討論內(nèi)和在內(nèi)的零點(diǎn)情況.
(2)設(shè)內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn),求上的最值.
(3)證明對(duì)恒有.[來

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知,函數(shù),.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求證:對(duì)于任意的,都有.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知函數(shù) ().
(1)若,求函數(shù)的極值;
(2)設(shè)
① 當(dāng)時(shí),對(duì)任意,都有成立,求的最大值;
② 設(shè)的導(dǎo)函數(shù).若存在,使成立,求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最大值;
(2)當(dāng)時(shí),方程有唯一實(shí)數(shù)解,求正數(shù)的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知函數(shù),其中.
(1)若,求函數(shù)的極值;
(2)當(dāng)時(shí),試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知的導(dǎo)函數(shù)的簡(jiǎn)圖,它與軸的交點(diǎn)是(0,0)和(1,0),


(1)求的解析式及的極大值.
(2)若在區(qū)間(m>0)上恒有≤x成立,求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知函數(shù)滿足(其中在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),為常數(shù)).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
(2)設(shè)函數(shù),若函數(shù)上單調(diào),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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