【題目】若實數(shù)x、y、m滿足|x﹣m|<|y﹣m|,則稱x比y接近m.
(1)若2x比1接近3,求x的取值范圍;
(2)已知函數(shù)f(x)定義域D=(﹣∞,0)∪(0,1)∪(1,3)∪(3,+∞),對于任意的x∈D,f(x)等于x2﹣2x與x中接近0的那個值,寫出函數(shù)f(x)的解析式,若關于x的方程f(x)﹣a=0有兩個不同的實數(shù)根,求出a的取值范圍;
(3)已知a,b∈R,m>0且a≠b,求證: 比 接近0.
【答案】
(1)解:因為2x比1接近3,所以|2x﹣3|<|1﹣3|,
即|2x﹣3|<2,解得 <x< ,
所以,x的取值范圍為:( , )
(2)解:分類討論如下:
①當x2﹣2x比x接近于0時,|x2﹣2x|<|x|,
解得,x∈(1,3),
②當x比x2﹣2x接近于0時,|x2﹣2x|>|x|,
解得,x∈(﹣∞,0)∪(0,1)∪(3,+∞),
所以,f(x)= ,
畫出f(x)的圖象,如下圖,
因為方程f(x)=a有兩個實根,根據(jù)函數(shù)圖象得,
a∈(﹣1,0)∪(0,1)
(3)解:對兩式 , 平方作差得,
△=( )2﹣( )2
= = ,
因為a,b∈R,m>0且a≠b,所以,△>0恒成立,
所以, >| |,
即 比 接近0.
【解析】(1)直接根據(jù)定義,問題等價為|2x﹣3|<|1﹣3|,解出即可;(2)先求出函數(shù)f(x)的解析式并畫出函數(shù)圖象,再運用數(shù)形結合的方法,求a的取值范圍;(3)直接運用作差法比較兩式的大小.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解絕對值不等式的解法的相關知識,掌握含絕對值不等式的解法:定義法、平方法、同解變形法,其同解定理有;規(guī)律:關鍵是去掉絕對值的符號.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱柱中, 平面, , , 為的中點.
(1)求四棱錐的體積;
(2)求證: ;
(3)判斷線段上是否存在一點 (與點不重合),使得四點共面? (結論不要求證明)
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【題目】已知函數(shù)f(x)=sinx,若存在x1 , x2 , …,xn滿足0≤x1<x2<…<xn≤nπ,n∈N+ , 且|f(x1)﹣f(x2)|+|f(x2)﹣f(x3)|+…+|f(xm﹣1)﹣f(xm)|=12,(m≥2,m∈N+),當m取最小值時,n的最小值為 .
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【題目】已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點 ,且滿足,
(1)求的解析式;
(2)已知,求函數(shù)在的最大值和最小值;
函數(shù)的圖像上是否存在這樣的點,其橫坐標是正整數(shù),縱坐標是一個完全平方數(shù)?如果存在,求出這樣的點的坐標;如果不存在,請說明理由
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【題目】若f(x)是定義在(0,+∞)上的增函數(shù),且對一切x,y>0,滿足.
(1)求f(1)的值;
(2)若f(6)=1,解不等式f(x+3)-f()<2.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=loga(ax2-x+1)(a>0,a≠1).
(1) 若a=,求函數(shù)f(x)的值域.
(2) 當f(x)在區(qū)間上為增函數(shù)時,求a的取值范圍.
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【題目】已知二次函數(shù)的最小值為1,且.
(1)求的解析式.
(2)在區(qū)間[-1,1]上,的圖象恒在的圖象上方,試確定實數(shù)的取值范圍.
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【題目】某公司生產(chǎn)一批A產(chǎn)品需要原材料500噸,每噸原材料可創(chuàng)造利潤12萬元.該公司通過設備升級,生產(chǎn)這批A產(chǎn)品所需原材料減少了x噸,且每噸原材料創(chuàng)造的利潤提高0.5x%;若將少用的x噸原材料全部用于生產(chǎn)公司新開發(fā)的B產(chǎn)品,每噸原材料創(chuàng)造的利潤為12(a﹣ x)萬元(a>0).
(1)若設備升級后生產(chǎn)這批A產(chǎn)品的利潤不低于原來生產(chǎn)該批A產(chǎn)品的利潤,求x的取值范圍.
(2)若生產(chǎn)這批B產(chǎn)品的利潤始終不高于設備升級后生產(chǎn)這批A產(chǎn)品的利潤,求a的最大值.
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【題目】已知函數(shù)在點處的切線方程為.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)求函數(shù)的單調區(qū)間和極值.
【答案】(1);(2)見解析.
【解析】試題分析:(1)根據(jù)導數(shù)幾何意義得,再與聯(lián)立方程組解得, (2)先函數(shù)導數(shù),再求導函數(shù)零點,列表分析導函數(shù)符號變化規(guī)律,進而確定單調區(qū)間和極值
試題解析:(1),切線為,即斜率,縱坐標
即, ,解得,
解析式
(2) ,定義域為
得到在單增,在單減,在單增
極大值,極小值.
【題型】解答題
【結束】
20
【題目】如圖:在四棱錐中,底面為菱形,且, 底面,
, , 是上點,且平面.
(1)求證: ;(2)求三棱錐的體積.
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