如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA⊥CB,CA=CB=1,棱AA1=2,M、N分別是A1B1、A1A的中點(diǎn).
(1)求證:C1N⊥平面BCN;
(2)求直線B1C與平面C1MN所成角θ的正弦值.
證明:(1)∵CA=CB=1,棱AA1=2,M、N分別是A1B1、A1A的中點(diǎn).
∴CA=AN=NA1=A1C1=1,
又由AA1⊥底面ABC,AA1⊥底面A1B1C1
∠ANC=∠A1NC1=
π
4
…(1分),
∠CNC1=
π
2
,
即C1N⊥NC…(2分),
因?yàn)镃A⊥CB,BC⊥CC1,AC∩CC1=C,
所以BC⊥平面CAA1C1…(3分),
又∵C1N?平面CAA1C1,
∴BC⊥C1N…(4分),
因?yàn)锽C∩NC=C,
所以C1N⊥平面BCN…(5分)
(2)(方法一)以C為原點(diǎn),CA、CB、CC1在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系…(6分),
則C(0,0,0)、C1(0,0,2)、B1(0,1,2)…(7分),M(
1
2
,
1
2
,2)
、N(1,0,1)…(8分),
C1M
=(
1
2
1
2
,0)
C1N
=(1,0,-1)
CB1
=(0,1,2)
…(9分),
設(shè)平面C1MN的一個(gè)法向?yàn)?span >
n
=(a,b,c),則
n
C1M
=0
n
C1N
=0
…(10分),
a+b=0
a-c=0
,取
n
=(1,-1,1)
…(11分),
所以sinθ=|cos<
n
,
CB1
>|=
|
n
CB1
|
|
n
||
CB1
|
=
15
15
…(13分).
(方法二)
A1M
A1N
=
AN
AB
=
2
2
,∠BAN=∠NA1M=
π
2
△BAN\~△NA1M…(6分),
所以∠BNA=∠A1MN,∠MNB=
π
2
,BN⊥MN…(7分),
由(1)知BN⊥C1N,C1N∩MN=N,所以BN⊥平面C1MN…(8分).
延長B1B到B2,延長C1C到C2,使BB2=CC2=2,連接BC2、NC2…(9分),
在△NBC2中,BN=
3
,BC2=
5
,NC2=
10
…(10分),
cos∠NBC2=
BN2+BC22-NC22
2BN×BC2
…(11分),
=-
15
15

BN是平面C1MN的法向量,由所作知BC2B1C,
從而θ=∠NBC2-
π
2
,所以sinθ=-cos∠NBC2=
15
15
…(13分).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知點(diǎn)H在正方體ABCD-A′B′C′D′的對(duì)角線B′D′上,∠HDA=60°.
(Ⅰ)求DH與CC′所成角的大;
(Ⅱ)求DH與平面AA′D′D所成角的大小.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=1,AB=2,F(xiàn)是PD的中點(diǎn),E是線段AB上的點(diǎn).
(Ⅰ)當(dāng)E是AB的中點(diǎn)時(shí),求證:AF平面PEC;
(Ⅱ)要使二面角P-EC-D的大小為45°,試確定E點(diǎn)的位置.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,直角梯形ABCD與等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直.ABCD,AB⊥BC,AB=2CD=2BC,EA⊥EB.
(Ⅰ)求證:AB⊥DE;
(Ⅱ)求直線EC與平面ABE所成角的正弦值;
(Ⅲ)線段EA上是否存在點(diǎn)F,使EC平面FBD?若存在,求出
EF
EA
;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知正方形ABCD的邊長為1,AC∩BD=O.將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折起,使AC=1,得到三棱錐A-BCD,如圖所示.
(Ⅰ)若點(diǎn)M是棱AB的中點(diǎn),求證:OM平面ACD;
(Ⅱ)求證:AO⊥平面BCD;
(Ⅲ)求二面角A-BC-D的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

設(shè)向量滿足,方向上的投影為,若存在實(shí)數(shù),使得垂直,則=(   )
A.B.1C. 2D.3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

若向量、滿足,,則的夾角為(  )
A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知平面向量, 且, 則 (     )
A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

四邊形OABC中,,若,,則(  )
A.B.C.D.

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