已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,AC∩BD=O.將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折起,使AC=1,得到三棱錐A-BCD,如圖所示.
(Ⅰ)若點(diǎn)M是棱AB的中點(diǎn),求證:OM平面ACD;
(Ⅱ)求證:AO⊥平面BCD;
(Ⅲ)求二面角A-BC-D的余弦值.
(I)證明:∵在正方形ABCD中,O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn),
∴O為BD的中點(diǎn),
又M為AB的中點(diǎn),
∴OMAD.
又AD?平面ACD,OM?平面ACD,
∴OM平面ACD.
證明:(II)在△AOC中,∵AC=1,AO=CO=
2
2
,
∴AC2=AO2+CO2,∴AO⊥CO.
又∵AC、BD是正方形ABCD的對(duì)角線,
∴AO⊥BD,
又BD∩CO=O
∴AO⊥平面BCD.
(III)由(II)知AO⊥平面BCD,則OC,OA,OD兩兩互相垂直,
如圖,以O(shè)為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.
O(0,0,0),A(0,0,
2
2
),C(
2
2
,0,0),B(0,-
2
2
,0),D(0,
2
2
,0)
,
OA
=(0,0,
2
2
)
是平面BCD的一個(gè)法向量.
AC
=(
2
2
,0,-
2
2
)
,
BC
=(
2
2
2
2
,0)

設(shè)平面ABC的法向量
n
=(x,y,z)

n
BC
=0
,
n
AC
=0

(x,y,z)•(
2
2
2
2
,0)=0
(x,y,z)•(
2
2
,0,-
2
2
)=0

所以y=-x,且z=x,令x=1,則y=-1,z=1,
解得
n
=(1,-1,1)


從而cos?
n
,
OA
>=
n
OA
|
n
||
OA
|
=
3
3

二面角A-BC-D的余弦值為
3
3

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1所有棱長(zhǎng)都是2,D是棱AC的中點(diǎn),E是棱CC1的中點(diǎn),AE交A1D于點(diǎn)H.
(1)求證:AE⊥平面A1BD;
(2)求二面角D-BA1-A的大小(用反三角函數(shù)表示)
(3)求點(diǎn)B1到平面A1BD的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

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( I)求二面角C-DE-C1的正切值;( II)求直線EC1與FD1所成的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在三棱錐P-ABC中,PA=PB=AB=2,BC=3,∠ABC=90°,平面PAB⊥平面ABC,D、E分別為AB、AC中點(diǎn).
(1)求證:DE平面PBC;
(2)求證:AB⊥PE;
(3)求二面角A-PB-E的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

一個(gè)多面體的直觀圖及三視圖分別如圖1和圖2所示(其中正視圖和側(cè)視圖均為矩形,俯視圖是直角三角形),M、N分別是AB1、A1C1的中點(diǎn),MN⊥AB1


(Ⅰ)求實(shí)數(shù)a的值并證明MN平面BCC1B1;
(Ⅱ)在上面結(jié)論下,求平面AB1C1與平面ABC所成銳二面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA⊥CB,CA=CB=1,棱AA1=2,M、N分別是A1B1、A1A的中點(diǎn).
(1)求證:C1N⊥平面BCN;
(2)求直線B1C與平面C1MN所成角θ的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知兩個(gè)非零向量a與b,定義|a×b|=|a|·|b|sin θ,其中θ為a與b的夾角.若a=(-3,4),b=(0,2),則|a×b|的值為________.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

中,,向量的終點(diǎn)的內(nèi)部(不含邊界),則實(shí)數(shù)的取值范圍是         

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

如圖,在四邊形中,的中點(diǎn),且,則      .

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同步練習(xí)冊(cè)答案