如圖,直角梯形ABCD與等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直.ABCD,AB⊥BC,AB=2CD=2BC,EA⊥EB.
(Ⅰ)求證:AB⊥DE;
(Ⅱ)求直線EC與平面ABE所成角的正弦值;
(Ⅲ)線段EA上是否存在點F,使EC平面FBD?若存在,求出
EF
EA
;若不存在,說明理由.
(Ⅰ)證明:取AB中點O,連接EO,DO.
因為EB=EA,所以EO⊥AB.…(1分)
因為四邊形ABCD為直角梯形,AB=2CD=2BC,AB⊥BC,
所以四邊形OBCD為正方形,所以AB⊥OD.…(2分)
因為EO∩OD=O
所以AB⊥平面EOD.…(3分)
因為ED?平面EOD
所以AB⊥ED.…(4分)
(Ⅱ)因為平面ABE⊥平面ABCD,且EO⊥AB,平面ABE∩平面ABCD=AB
所以EO⊥平面ABCD,
因為OD?平面ABCD,所以EO⊥OD.
由OB,OD,OE兩兩垂直,建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz.…(5分)
因為△EAB為等腰直角三角形,所以OA=OB=OD=OE,設OB=1,所以O(0,0,0),A(-1,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),E(0,0,1).
所以
EC
=(1,1,-1)
,平面ABE的一個法向量為
OD
=(0,1,0)
.…(7分)
設直線EC與平面ABE所成的角為θ,
所以sinθ=|cos?
EC
,
OD
>|=
|
EC
OD
|
|
EC
||
OD
|
=
3
3
,
即直線EC與平面ABE所成角的正弦值為
3
3
.…(9分)
(Ⅲ)存在點F,且
EF
EA
=
1
3
時,有EC平面FBD.…(10分)
證明如下:由
EF
=
1
3
EA
=(-
1
3
,0,-
1
3
)
F(-
1
3
,0,
2
3
)
,所以
FB
=(
4
3
,0,-
2
3
)

設平面FBD的法向量為
v
=(a,b,c),則有
v
BD
=0
v
FB
=0

所以
-a+b=0
4
3
a-
2
3
z=0.
取a=1,得
v
=(1,1,2).…(12分)
因為
EC
v
=(1,1,-1)•(1,1,2)=0,且EC?平面FBD,所以EC平面FBD.
即點F滿足
EF
EA
=
1
3
時,有EC平面FBD.…(14分)
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在棱長為1的正方體A1B1C1D1-ABCD中,
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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

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(1)求證:BD⊥PC;
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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中點.
(Ⅰ)求證:B1C平面A1BD;
(Ⅱ)求二面角A1-BD-B1的余弦值.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在三棱錐P-ABC中,PA=PB=AB=2,BC=3,∠ABC=90°,平面PAB⊥平面ABC,D、E分別為AB、AC中點.
(1)求證:DE平面PBC;
(2)求證:AB⊥PE;
(3)求二面角A-PB-E的大小.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,∠ACB=90°,AB=2,BC=1,AA1=
6
,D是棱CC1的中點.
(Ⅰ)證明:A1D⊥平面AB1C1;
(Ⅱ)求平面A1B1A與平面AB1C1所成的銳二面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA⊥CB,CA=CB=1,棱AA1=2,M、N分別是A1B1、A1A的中點.
(1)求證:C1N⊥平面BCN;
(2)求直線B1C與平面C1MN所成角θ的正弦值.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

已知△ABC中,點D是BC的中點,過點D的直線分別交直線AB、AC于E、F兩點,若,,則的最小值是(  )
A.9
B.
C. 5
D.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

[2014·沈陽調(diào)研]如圖,空間四邊形OABC中,=a,=b,=c.點M在OA上,且OM=2MA,N為BC的中點,則等于(  )
A.a-b+c
B.-a+b+c
C.a+b-c
D.a+b-c

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