【題目】如圖,在四棱錐中,底面是直角梯形,側(cè)棱底面,垂直于和,為棱上的點(diǎn),.
(1)若為棱的中點(diǎn),求證:平面;
(2)當(dāng)時(shí),求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
(1)取線段的中點(diǎn),連結(jié),,推導(dǎo)出四邊形為平行四邊形,從而,由此能證明平面.
(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立分別以,,所在直線為軸,軸,軸的空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出平面與平面所成的銳二面角的余弦值.
(1)證明:取線段的中點(diǎn),連接.
在中,為中位線
∴且,
∵且,
∴且
∴四邊形為平行四邊形.
∴.
∵平面平面,
∴平面.
(2)解:如圖所示以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立分別以、、所在的直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,
于是
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,
將坐標(biāo)代入并取,得.
另外易知平面的一個(gè)法向量為,
所以平面與平面所成的銳二面角的余弦為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知一列非零向量滿足:(其中是非零常數(shù)).
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)求向量與夾角的弧度數(shù)
(3)當(dāng)時(shí),把中所有與共線的向量按原來的順序排成一列,記為令為坐標(biāo)原點(diǎn),求點(diǎn)列的極限點(diǎn)D的坐標(biāo).(注:若點(diǎn)坐標(biāo)為且則稱點(diǎn)D為點(diǎn)列的極限點(diǎn)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司為了解廣告投入對(duì)銷售收益的影響,在若干地區(qū)各投入萬元廣告費(fèi)用,并將各地的銷售收益繪制成頻率分布直方圖(如圖所示).由于工作人員操作失誤,橫軸的數(shù)據(jù)丟失,但可以確定橫軸是從開始計(jì)數(shù)的. [附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為.]
(1)根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算圖中各小長方形的寬度;
(2)試估計(jì)該公司投入萬元廣告費(fèi)用之后,對(duì)應(yīng)銷售收益的平均值(以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的取值);
(3)該公司按照類似的研究方法,測得另外一些數(shù)據(jù),并整理得到下表:
廣告投入 (單位:萬元) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
銷售收益 (單位:萬元) | 2 | 3 | 2 | 7 |
由表中的數(shù)據(jù)顯示, 與之間存在著線性相關(guān)關(guān)系,請(qǐng)將(2)的結(jié)果填入空白欄,并求出關(guān)于的回歸直線方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
點(diǎn)P是曲線C1:(x-2)2+y2=4上的動(dòng)點(diǎn),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,以極點(diǎn)O為中心,將點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)Q,設(shè)點(diǎn)Q的軌跡為曲線C2.
(Ⅰ)求曲線C1,C2的極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)射線(ρ>0)與曲線C1,C2分別交于A,B兩點(diǎn),設(shè)定點(diǎn)M(2,0),求△MAB的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)已知直線l過點(diǎn),它的一個(gè)方向向量為.
①求直線l的方程;
②一組直線,,,,,都與直線l平行,它們到直線l的距離依次為d,,,,,(),且直線恰好經(jīng)過原點(diǎn),試用n表示d的關(guān)系式,并求出直線的方程(用n、i表示);
(2)在坐標(biāo)平面上,是否存在一個(gè)含有無窮多條直線,,,,的直線簇,使它同時(shí)滿足以下三個(gè)條件:①點(diǎn);②,其中是直線的斜率,和分別為直線在x軸和y軸上的截距;③.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商場舉行優(yōu)惠促銷,顧客僅可以從以下兩種優(yōu)惠方案中選擇一種:方案一:每滿200元減50元;方案二:每滿200元可抽獎(jiǎng)一次.具體規(guī)則是依次從裝有3個(gè)紅球、1個(gè)白球的甲箱,裝2個(gè)紅球、2個(gè)白球的乙箱,以及裝有1個(gè)紅球、3個(gè)白球的丙箱中各隨機(jī)摸出1個(gè)球,所得結(jié)果和享受的優(yōu)惠如下表:(注:所有小球僅顏色有區(qū)別)
(1)若兩個(gè)顧客都選擇方案二,各抽獎(jiǎng)一次,求至少一個(gè)人獲得優(yōu)惠的概率;
(2)若某顧客選擇方案二,請(qǐng)分別計(jì)算該顧客獲得半價(jià)優(yōu)惠的概率、7折優(yōu)惠的概率以及8折優(yōu)惠的概率;
(3)若小明的購物金額為320元,你覺得小明應(yīng)該選取哪個(gè)方案,為什么?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知正方體的棱長為1.
正方體中哪些棱所在的直線與直線是異面直線?
若M,N分別是 ,的中點(diǎn),求異面直線MN與BC所成角的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)為,是橢圓上半部分的動(dòng)點(diǎn),連接和長軸的左右兩個(gè)端點(diǎn)所得兩直線交正半軸于兩點(diǎn)(點(diǎn)在的上方或重合).
(1)當(dāng)面積最大時(shí),求橢圓的方程;
(2)當(dāng)時(shí),在軸上是否存在點(diǎn)使得為定值,若存在,求點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線C:(a>0,b>0)的離心率為,且
(1)求雙曲線C的方程;
(2)已知直線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A,B且線段AB的中點(diǎn)在圓上,求m的值
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