已知橢圓的兩個焦點分別為，且，點在橢圓上，且的周長為6.
（1）求橢圓的方程；（2）若點的坐標為，不過原點的直線與橢圓相交于不同兩點，設線段的中點為，且三點共線．設點到直線的距離為，求的取值范圍．

（1）；（2）.

解析試題分析：（1）本小題中為焦點三角形，其周長為，又，兩式組成方程組從而易求出，即可寫出橢圓方程；（2）本小題中直線的方程可設為（其中不存在是不可能的），與橢圓方程聯(lián)立消y,利用韋達定理與中點坐標公式，可得M點坐標（用k,m表示），當三點共線，則有即可解出k的值，又消y后的方程的可得m的范圍，而點到直線的距離可用m表示，利用函數(shù)觀點可求出的取值范圍．
試題解析：（1）由已知得，且，解得，又，所以橢圓的方程為.
（2）當直線與軸垂直時，由橢圓的對稱性可知：點在軸上，且與原點不重合，顯然三點不共線，不符合題設條件．所以可設直線的方程為，由消去并整理得： ①
則，即，設，   且，則點，因為三點共線，則，即，而，所以，此時方程①為，且
因為，所以.
考點：橢圓的定義及標準方程，性質，直線與橢圓相交問題，設而不解思想，韋達定理，方程與函數(shù)思想，化歸思想.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓（a＞b＞0）的離心率，過點A（0，-b）和B（a，0）的直線與原點的距離為．
（1）求橢圓的方程．
（2）已知定點E（-1，0），若直線y＝kx＋2（k≠0）與橢圓交于C、D兩點．問：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過E點?請說明理由. 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為.
（1）若原點到直線的距離為，求橢圓的方程；
（2）設過橢圓的右焦點且傾斜角為的直線和橢圓交于A，B兩點.
當，求b的值；

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知點A（－1，0），B（1，－1）和拋物線.，O為坐標原點，過點A的動直線l交拋物線C于M、P，直線MB交拋物線C于另一點Q，如圖.
（1）證明: 為定值;
（2）若△POM的面積為，求向量與的夾角；
(3)證明直線PQ恒過一個定點.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，矩形ABCD中，|AB|＝4，|BC|＝2，E，F(xiàn)，M，N分別是矩形四條邊的中點，G，H分別是線段ON，CN的中點．
（1）證明：直線EG與FH的交點L在橢圓W：上；
（2）設直線l：與橢圓W：有兩個不同的交點P，Q，直線l與矩形ABCD有兩個不同的交點S，T，求的最大值及取得最大值時m的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設橢圓的焦點在軸上.
（1）若橢圓的焦距為1，求橢圓的方程；
（2）設分別是橢圓的左、右焦點，為橢圓上的第一象限內的點，直線交軸與點，并且，證明：當變化時，點在某定直線上.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設M、N為拋物線C：y＝x2上的兩個動點，過M、N分別作拋物線C的切線l1、l2，與x軸分別交于A、B兩點，且l1與l2相交于點P，若|AB|＝1．

(1)求點P的軌跡方程；
(2)求證：△MNP的面積為一個定值，并求出這個定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設橢圓的左、右焦點分別為,，右頂點為A，上頂點為B.已知=.
(1)求橢圓的離心率；
(2)設P為橢圓上異于其頂點的一點，以線段PB為直徑的圓經過點，經過點的直線與該圓相切與點M，=.求橢圓的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

若雙曲線的焦點到漸近線的距離為，則實數(shù)k的值是   

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