【題目】若函數(shù) , .
(Ⅰ)求 的單調(diào)區(qū)間和極值;
(Ⅱ)證明:若 存在零點(diǎn),則 在區(qū)間 上僅有一個(gè)零點(diǎn).
【答案】解:(Ⅰ)由 , 得
.
由 解得 . 與 在區(qū)間 上的情況如下:
所以, 的單調(diào)遞減區(qū)間是 ,單調(diào)遞增區(qū)間是 ;
在 處取得極小值 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, 在區(qū)間 上的最小值為 .
因?yàn)? 存在零點(diǎn),所以 ,從而 .
當(dāng) 時(shí), 在區(qū)間 上單調(diào)遞減,且 ,
所以 是 在區(qū)間 上的唯一零點(diǎn).
當(dāng) 時(shí), 在區(qū)間 上單調(diào)遞減,且 , ,
所以 在區(qū)間 上僅有一個(gè)零點(diǎn).
綜上可知,若 存在零點(diǎn),則 在區(qū)間 上僅有一個(gè)零點(diǎn)
【解析】(1)根據(jù)題目中所給的條件的特點(diǎn),利用原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)與0的大小關(guān)系,求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并能求出極值;
(2)利用極值求出最值,再利用最值討論存在零點(diǎn)的情況.導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系:
(i)若f′(x)>0在(a,b)上恒成立,則f(x)在(a,b)上是增函數(shù),f′(x)>0的解集與定義域的交集的對(duì)應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間;
(II)若f′(x)<0在(a,b)上恒成立,則f(x)在(a,b)上是減函數(shù),f′(x)<0的解集與定義域的交集的對(duì)應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù),需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能得出正確答案.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系 中,曲線 的參數(shù)方程為 ( 為參數(shù)),在以 為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線 是圓心為 ,半徑為1的圓.
(1)求曲線 , 的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè) 為曲線 上的點(diǎn), 為曲線 上的點(diǎn),求 的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知f(x)是偶函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)單調(diào)遞減,設(shè)a=-21.2 , ,c=2log52,則f(a),f(b),f(c)的大小關(guān)系為( )
A.f(c)<f(b)<f(a)
B.f(c)<f(a)<f(b)
C.f(c)>f(b)>f(a)
D.f(c)>f(a)>f(b)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列 的前 和為 ,若 , .
(Ⅰ)求數(shù)列 的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若 ,求數(shù)列 的前 項(xiàng)和 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在吸煙與患肺癌這兩個(gè)分類(lèi)變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)的計(jì)算中,下列說(shuō)法正確的是( )
A.若 的觀測(cè)值為 ,在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò) 的前提下認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)系,那么在100個(gè)吸煙的人中必有99人患有肺癌.
B.由獨(dú)立性檢驗(yàn)可知,在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò) 的前提下認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)系時(shí),我們說(shuō)某人吸煙,那么他有 的可能患有肺癌.
C.若從統(tǒng)計(jì)量中求出在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò) 的前提下認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)系,是指有 的可能性使得判斷出現(xiàn)錯(cuò)誤.
D.以上三種說(shuō)法都不正確.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)= ,若方程f(f(x))=a(a>0)恰有兩個(gè)不相等的實(shí)根x1 , x2 , 則e e 的最大值為( )
A.
B.2(ln2﹣1)
C.
D.ln2﹣1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)= 的圖象與函數(shù)g(x)=log2(x+a)(a∈R)的圖象恰有一個(gè)交點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.a>1
B.a≤﹣
C.a≥1或a<﹣
D.a>1或a≤﹣
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)x>0,集合 ,若M∩N={1},則M∪N=( )
A.{0,1,2,4}
B.{0,1,2}
C.{1,4}
D.{0,1,4}
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù) .
(I)若 在 處的切線方程為 ,求 的值;
(II)若 在 上為增函數(shù),求 得取值范圍.
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