如圖,四棱錐
的底面是正方形,每條側(cè)棱的長都是底面邊長的
倍,
為側(cè)棱
上的點(diǎn)。
(Ⅰ)求證:
;
(Ⅱ)若
平面
,求二面角
的大。
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,側(cè)棱
上是否存在一點(diǎn)
, 使得
平面
。若存在,求
的值;若不存在,試說明理由。
解法一:
(Ⅰ);連
,設(shè)
交于
于
,由題意知
.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),
分別為
軸、
軸、
軸正方向,建立坐標(biāo)系
如圖。
設(shè)底面邊長為
,則高
。 于是
故
從而
(Ⅱ)由題設(shè)知,平面
的一個(gè)法向量
,平面
的一個(gè)法向量
,設(shè)所求二面角為
,則
,所求二面角的大小為
(Ⅲ)在棱
上存在一點(diǎn)
使
.由(Ⅱ)知
是平面
的一個(gè)法向量,
且
設(shè)
則
而
即當(dāng)
時(shí),
而
不在平面
內(nèi),故
解法二:(Ⅰ)連BD,設(shè)AC交BD于O,由題意
。在正方形ABCD中,
,所以
,得
.
(Ⅱ)設(shè)正方形邊長
,則
。
又
,所以
,
連
,由(Ⅰ)知
,所以
,
且
,所以
是二面角
的平面角。
由
,知
,所以
,
即二面角
的大小為
。
Ⅲ)在棱SC上存在一點(diǎn)E,使
由(Ⅱ)可得
,故可在
上取一點(diǎn)
,使
,過
作
的平行線與
的交點(diǎn)即為
。連BN。在
中知
,又由于
,故平面
,得
,由于
,故
.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
如圖,在直三棱柱
中,
,
,
分別是
的中點(diǎn),點(diǎn)
在
上,且
,則二面角
的余弦值為
;點(diǎn)
到平面
的距離為
。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
“點(diǎn)M在直線a上,a 在平面
內(nèi)”可表示為( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
正三棱柱
的底面邊長為2,側(cè)棱長為
,
為
中點(diǎn),則直線
與面
所成角的正弦值為( 。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
正六棱錐P-ABCDEF中,G為PB的中點(diǎn),則三棱錐D-GAC與三棱錐P-GAC體積之比為( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)
三棱錐被平行于底面
的平面所截得的幾何體如圖所示,截面為
,
,
平面
,
,
,
為
中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:平面
平面
;
(Ⅱ)求二面角
的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
如圖,矩形
中,
,沿對(duì)角線
將
折起,使
點(diǎn)在平面
內(nèi)的射影落在
邊上,若二面角
的平面角大小為
,則
的值為_______________▲_______________
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
a,b,c分別表示三條直線,M表示平面,給出下列四個(gè)命題:①若a∥M,b∥M,則a∥b;②若b
M,a∥b,則a∥M;③若a⊥c,b⊥c,則a∥b;④若a⊥M,b⊥M,則a∥b.其中不正確命題的有
(填序號(hào))
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
如圖,已知平面
平面
,
、
是平面
與平面
的交線上的兩個(gè)定點(diǎn),
,且
,
,
,
,
,在平面
上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)
,使得
,則
的面積的最大值是( )
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