Question

【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為 (為參數(shù))，直線的參數(shù)方程為 (為參數(shù))．以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系．

(1)寫出直線的普通方程以及曲線的極坐標方程；

(2)若直線與曲線的兩個交點分別為，直線與軸的交點為，求的值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）1.

【解析】分析：(1)消去參數(shù)t可得直線l的普通方程為x＋y－1＝0．曲線C的直角坐標方程為x2＋y2－4y＝0．化為極坐標即ρ＝4sin θ．

(2)聯(lián)立直線參數(shù)方程與圓的一般方程可得t2－3t＋1＝0，結合直線參數(shù)的幾何意義可得|PM|·|PN|＝|t1·t2|＝1．

詳解：(1)直線l的參數(shù)方程為(為參數(shù))，

消去參數(shù)t，得x＋y－1＝0．

曲線C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù))，

利用平方關系，得x2＋(y－2)2＝4，則x2＋y2－4y＝0．

令ρ2＝x2＋y2，y＝ρsin θ，代入得C的極坐標方程為ρ＝4sin θ．

(2)在直線x＋y－1＝0中，令y＝0，得點P(1，0)．

把直線l的參數(shù)方程代入圓C的方程得t2－3t＋1＝0，

∴t1＋t2＝3，t1t2＝1．

由直線參數(shù)方程的幾何意義，|PM|·|PN|＝|t1·t2|＝1．