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【題目】在平面直角坐標系中，直線交橢圓于兩點，.

（1）若，且點滿足，證明：點不在橢圓上；

（2）若橢圓的左，右焦點分別為，，直線與線段和橢圓的短軸分別交于兩個不同點，，且，求四邊形面積的最小值.

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）直線的方程與橢圓聯立，利用韋達定理以及，得出點的坐標，最后將點代入橢圓方程，即可得出結論；

（2）直線的方程與橢圓聯立，利用韋達定理，求出以及的取值范圍，進而得出的值，再由三角形的面積公式以及二次函數的性質得出四邊形面積的最小值.

設直線交橢圓于兩點，

（1）把代入得

所以，

因為

所以，即

因為

所以點不在橢圓上；

（2）由代入得

則，

又，，

因為，所以，即

所以

因為直線與線段及橢圓的短軸分別交于不同兩點

所以

又，則

故，

，即

因為，

所以

因為

所以

故當或時，四邊形面積的最小值為.

練習冊系列答案
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【題目】設，分別是橢圓的左，右焦點，兩點分別是橢圓的上，下頂點，是等腰直角三角形，延長交橢圓于點，且的周長為.

（1）求橢圓的方程；

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（1）根據莖葉圖判斷哪種藥對增加睡眠時間更有效？并說明理由；

（2）求這名患者日平均增加睡眠時間的中位數，并將日平均增加睡眠時間超過和不超過的患者人數填入下面的列聯表：

超過

不超過

服用藥

服用藥

（3）根據（2）中的列聯表，能否有的把握認為兩種藥的療效有差異？

附： .

0.01

0.005

0.001

6.635

7.879

10.828

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（1）求曲線和直線的極坐標方程；

（2）若相交于不同的兩點，求的取值范圍.

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