【題目】設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=2, ;數(shù)列{bn}的前n項和為Sn , 且 . (Ⅰ)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式;
(Ⅱ)把數(shù)列{an}和{bn}的公共項從小到大排成新數(shù)列{cn},試寫出c1 , c2 , 并證明{cn}為等比數(shù)列.

【答案】解:(Ⅰ)由已知,當n≥2時,an=[(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a2﹣a1)]+a1=(2n﹣1+2n﹣2+…+2)+2=2n

又因為a1=2,

所以數(shù)列{an}的通項公式為

因為 ,所以,

兩式做差可得bn=3n﹣2,且b1=S1=1也滿足此式,

所以bn=3n﹣2;

(Ⅱ)由 ,bn=3n﹣2,可得c1=4=a2=b2,c2=a4=b6=16.

假設(shè) ,

則3m﹣2=2k

所以 ,不是數(shù)列{bn}中的項;

=3(4m﹣2)﹣2,是數(shù)列中的第4m﹣2項.

所以cn+1=b4m﹣2= ,

從而

所以{cn}是首項為4,公比為4的等比數(shù)列.


【解析】(Ⅰ)根據(jù)題意,對于數(shù)列{an},由遞推公式可得an=[(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a2﹣a1)]+a1,計算即可得數(shù)列{an}的通項公式,對于數(shù)列{bn},有Sn公式表示出 ,兩式相減可得bn=3n﹣2,驗證b1即可得答案;(2)根據(jù)題意,由數(shù)列{an}和{bn}的通項公式分析兩個數(shù)列的相同項,可得新數(shù)列{cn}的通項公式,由等比數(shù)列的定義分析可得答案.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等比關(guān)系的確定的相關(guān)知識,掌握等比數(shù)列可以通過定義法、中項法、通項公式法、前n項和法進行判斷,以及對數(shù)列的通項公式的理解,了解如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式.

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A.1
B.2
C.3
D.4

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A.2
B.4
C.6
D.8

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