已知a,b是正實數(shù),設(shè)函數(shù)f(x)=xlnx,g(x)=-a+xlnb.
(Ⅰ)設(shè)h(x)=f(x)-g(x),求h(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若存在x0,使x0∈[
a+b
4
,
3a+b
5
]且f(x0)≤g(x0)成立,求
b
a
的取值范圍.
分析:(I)根據(jù)已知求出h(x)=f(x)-g(x)的解析式,求出其導(dǎo)函數(shù),分別求出導(dǎo)函數(shù)為正,為負(fù)時x的取值范圍,進而可得h(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)根據(jù)區(qū)間的定義可得
a+b
4
3a+b
5
,由f(x0)≤g(x0),結(jié)合(I)中函數(shù)的單調(diào)性,分類討論,最后綜合討論結(jié)果,可得
b
a
的取值范圍.
解答:解:(1)∵h(x)=f(x)-g(x)=xlnx+a-xlnb
∴h′(x)=lnx+1-lnb
由h′(x)>0得x>
b
e

∴h(x)在(0,
b
e
)上單調(diào)遞減,(
b
e
,+∞)上單調(diào)遞增.…(4分)
(2)由
a+b
4
3a+b
5
b
a
<7                      …(5分)
(i)當(dāng)
a+b
4
b
c
3a+b
5
,即
e
4-e
b
a
3e
5-e
時,
h(x)min=h(
b
e
)=-
b
e
+a
由-
b
e
+a≤0得
b
a
≥e,
∴e≤
b
a
3e
5-e
                …(7分)
(ii)當(dāng)
b
c
a+b
4
時,a>
4-e
e
b

∴h(x)在[
a+b
4
,
3a+b
5
]上單調(diào)遞增.
h(x)min=h(
a+b
4
)=
a+b
4
(ln
a+b
4
-lnb)+a≥
a+b
4
(ln
b
e
lnb)+a=
3a-b
4
3
4-e
e
b-b
4
=
3-e
e
b>0
∴不成立                                         …(9分)
(iii)當(dāng)
b
e
3a+b
5
,即
b
a
3e
5-e
時,a<
5-e
3e
b
h(x)在[
a+b
4
,
3a+b
5
]上單調(diào)遞減.
h(x)min=h(
3a+b
5
)=
3a+b
5
(ln
3a+b
5
-lnb)+a<
3a+b
5
(ln
b
e
lnb)+a=
2a-b
5
2•
5-e
3e
b-b
5
=
2-e
3e
b
<0
∴當(dāng)
b
a
3e
5-e
時恒成立                           …(11分)
綜上所述,e≤
b
a
<7                            …(12分)
點評:本題考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)恒成立問題,熟練掌握導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)性和最值的方法和步驟是解答的關(guān)鍵.
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a
b
+
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a
a
+
b

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1
3
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a
+
b
≤2
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2

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