Question

已知函數(shù)f（x）=

2x-1

2x+1

（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明．
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)性及值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明．
（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)性及值域．

解答： 解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，
則f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-

2x-1

2x+1

=-f（x），
即函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（2）f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，
∵y=2^x為增函數(shù)，∴y=2^x+1為增函數(shù)，
則f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

為增函數(shù)，
由y=f（x）=

2x-1

2x+1

得（1-y）2^x=1+y，
當(dāng)y=1時(shí)，不成立，則方程等價(jià)為2^x=

1+y

1-y

，
由2^x=

1+y

1-y

＞0，解得-1＜y＜1，
故函數(shù)的值域?yàn)椋?1，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．