Question

【題目】已知點(diǎn)A（0，﹣1）是拋物線C：x2=2py（p＞0）準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線C的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線C上且滿足|PF|=m|PA|，當(dāng)m取最小值時，點(diǎn)P恰好在以原點(diǎn)為中心，F(xiàn)為焦點(diǎn)的雙曲線上，則此雙曲線的離心率為（ ）
A.
B.
C. +1
D. +1

Answer 1

【答案】C
【解析】解：點(diǎn)A（0，﹣1）是拋物線C：x2=2py（p＞0）準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，可得p=2， 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=4y，
則拋物線的焦點(diǎn)為F（0，1），準(zhǔn)線方程為y=﹣1，
過P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，
則由拋物線的定義可得|PN|=|PF|，
∵|PF|=m|PA|，∴|PN|=m|PA|，則 =m，
設(shè)PA的傾斜角為α，則sinα=m，
當(dāng)m取得最小值時，sinα最小，此時直線PA與拋物線相切，
設(shè)直線PA的方程為y=kx﹣1，代入x2=4y，
可得x2=4（kx﹣1），
即x2﹣4kx+4=0，
∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，
∴P（2，1），
∴雙曲線的實軸長為|PA|﹣|PF|=2（ ﹣1），
∴雙曲線的離心率為 = +1．
故選：C．