Question

請認真閱讀下列程序框圖：
已知程序框圖x_i=f（x_i-1）中的函數(shù)關系式為，程序框圖中的D為函數(shù)f（x）的定義域，把此程序框圖中所輸出的數(shù)x_i組成一個數(shù)列{x_n}．
（1）若輸入，請寫出數(shù)列{x_n}的所有項；
（2）若輸出的無窮數(shù)列{x_n}是一個常數(shù)列，試求輸入的初始值x₀的值；
（3）若輸入一個正數(shù)x₀時，產(chǎn)生的數(shù)列{x_n}滿足：任意一項x_n，都有x_n＜x_n+1，試求
正數(shù)x₀的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當時，因為f（x）的定義域D=（-∞，-1）∪（-1，+∞），
∴，
，
∉D，
所以數(shù)列{x_n}只有三項 ．
（2）數(shù)列{x_n}是一個常數(shù)列，則有x₁=x₂=…=x_n=x₀即 ，解得：x₀=1或x₀=2，
所以輸入的初始值x₀為1或2時輸出的為常數(shù)列．
（3）由題意知 ，因x₀＞0，
∴x_n＞0，有：得4x_n-2＞x_n（x_n+1）即x_n²-3x_n+2＜0，即（x_n-2）（x_n-1）＜0
要使任意一項x_n，都有x_n+1＞x_n，須（x₀-2）（x₀-1）＜0，解得：1＜x₀＜2，
所以當正數(shù)x₀在（1，2）內(nèi)取值時，所輸出的數(shù)列{x_n}對任意正整數(shù)n滿足x_n＜x_n+1．
分析：（1）利用 ，及工作原理，注意函數(shù)的定義域，直接可求得數(shù)列{x_n}的只有三項；
（2）要數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生一個無窮的常數(shù)列，則有 ，從而求出相應的初始數(shù)據(jù)x₀的值；
（Ⅲ）要使對任意正整數(shù)n，均有x_n＜x_n+1，則必須 ，得1＜x_n＜2，要使任意一項x_n，都有x_n+1＞x_n，須（x₀-2）（x₀-1）＜0，解得：1＜x₀＜2，從而得出結論．
點評：本小題主要考查數(shù)列與算法的簡單結合、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．