Question

請(qǐng)認(rèn)真閱讀下列程序框圖：
已知程序框圖x_i=f（x_i-1）中的函數(shù)關(guān)系式為f(x)=

4x-2

x+1

，程序框圖中的D為函數(shù)f（x）的定義域，把此程序框圖中所輸出的數(shù)x_i組成一個(gè)數(shù)列{x_n}．
（1）若輸入x0=

49

65

，請(qǐng)寫出數(shù)列{x_n}的所有項(xiàng)；
（2）若輸出的無窮數(shù)列{x_n}是一個(gè)常數(shù)列，試求輸入的初始值x₀的值；
（3）若輸入一個(gè)正數(shù)x₀時(shí)，產(chǎn)生的數(shù)列{x_n}滿足：任意一項(xiàng)x_n，都有x_n＜x_n+1，試求正數(shù)x₀的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用 f(x)=

4x-2

x+1

，x0=

49

65

及工作原理，注意函數(shù)的定義域，直接可求得數(shù)列{x_n}的只有三項(xiàng)；
（2）要數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生一個(gè)無窮的常數(shù)列，則有 f(x)=

4x-2

x+1

=x，從而求出相應(yīng)的初始數(shù)據(jù)x₀的值；
（Ⅲ）要使對(duì)任意正整數(shù)n，均有x_n＜x_n+1，則必須

4xn-2

xn+1

＞xn，得1＜x_n＜2，要使任意一項(xiàng)x_n，都有x_n+1＞x_n，須（x₀-2）（x₀-1）＜0，解得：1＜x₀＜2，從而得出結(jié)論．

解答：解：（1）當(dāng)x0=

49

65

時(shí)，因?yàn)閒（x）的定義域D=（-∞，-1）∪（-1，+∞），
∴x1=f(x0)=

4x0-2

x0+1

═

4×  49 65 -2

49 65 x+1

=

11

19

，
x2=f(x1)=

4x2-2

x2+1

═

4× 11 19 -2

11 19 x+1

=

1

5

，
x3=f(x2)=

4x2-2

x2+1

═

4× 1 5 -2

1 5 x+1

=-1∉D，
所以數(shù)列{x_n}只有三項(xiàng) x1=

11

19

，x2=

1

5

，x3=-1．
（2）數(shù)列{x_n}是一個(gè)常數(shù)列，則有x₁=x₂=…=x_n=x₀即  x0=f(x0)=

4x0-2

x0-1

，解得：x₀=1或x₀=2，
所以輸入的初始值x₀為1或2時(shí)輸出的為常數(shù)列．
（3）由題意知 xn+1=f(xn)=

4xn-2

xn+1

＞xn，因x₀＞0，
∴x_n＞0，有：

4xn-2

xn+1

＞xn得4x_n-2＞x_n（x_n+1）即x_n²-3x_n+2＜0，即（x_n-2）（x_n-1）＜0
要使任意一項(xiàng)x_n，都有x_n+1＞x_n，須（x₀-2）（x₀-1）＜0，解得：1＜x₀＜2，
所以當(dāng)正數(shù)x₀在（1，2）內(nèi)取值時(shí)，所輸出的數(shù)列{x_n}對(duì)任意正整數(shù)n滿足x_n＜x_n+1．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查數(shù)列與算法的簡(jiǎn)單結(jié)合、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．