Question

已知正項數(shù)列{a_n}的前n和為S_n，且

Sn

是

1

4

與（a_n+1）²的等比中項．
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（2）若bn=

an

2n

，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求T_n；
（3）在（2）的條件下，是否存在常數(shù)λ，使得數(shù)列{

Tn+λ

an+2

}為等比數(shù)列？若存在，試求出λ；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知條件可得sn=

1

4

(an+1) 2，利用an=

sn-sn-1，n≥2 s1，n=1

可把已知條件轉(zhuǎn)化為a_n-a_n-1=2，從而可證．
（2）由（1）代入可得bn=

2n-1

2n

，用“乘公比錯位相減”求數(shù)列的和．
（3）假設(shè)存在常數(shù)λ，使得數(shù)列為等比數(shù)列?

Tn+λ

an+2

=

3+λ

2n+3

-

1

2n

，結(jié)合等比的通項公式可得

λ+3

2n+3

=0，從而可求λ．

解答：解：（1）∵Sn=

1

4

(an+1)2，∴a1=S1=

1

4

(a1+1)2，∴a₁=1（a_n＞0）
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=

1

4

(an+1)2-

1

4

(an-1+1)2，∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0
∵a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=2，
∴{a_n}為等差數(shù)列．（4'）
（2）由（1）知，{a_n}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=2n-1
∴bn=

2n-1

2n

，①
Tn=

1

2

+

3

22

+…+

2n-1

2n

，①

1

2

Tn=    

1

22

+

3

23

+

5

24

+…+

2n-3

2n

+

2n-1

2n

②
①-②得：

1

2

Tn=

1

2

+2(

1

22

+

1

23

+

1

24

+

1

2n

)-

2n-1

2n+1

∴Tn=3-

2n-3

2n

（9'）
（3）∵

Tn+λ

an+2

=(3-

2n+3

2n

+λ)

1

2n+3

=

3+λ

2n+3

-

1

2n

易知，當λ=-3時，數(shù)列{

Tn+λ

an+2

}為等比數(shù)列．（13'）

點評：本題考查了利用遞推公式求數(shù)列的通項公式及利用定義證明數(shù)列為等差數(shù)列，還考查了等比數(shù)列的通項公式，錯位相減求數(shù)列的和等知識的綜合，屬于對基本知識、基本方法的簡單運用的考查．