已知正項數(shù)列{an}滿足:a1=3,(2n-1)an+2=(2n+1)an-1+8n2(n>1,n∈N*
(1)求證:數(shù)列{
an
2n+1
}
為等差數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項an
(2)設bn=
1
an
,求數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,并求Sn的取值范圍.
分析:(1)由(2n-1)an+2=(2n+1)an-1+8n2,知∴(2n-1)an-(2n+1)an-1=2(4n2-1),所以{
an
2n+1
}
是以1為首項,2為公差的等差數(shù)列,由此能求出數(shù)列{an}的通項an
(2)由bn=
1
an
=
1
4n2-1
=
1
2
(
1
2n-1
-
1
2n+1
)
,得Sn=
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
=
1
2
(1-
1
2n+1
)
,由此能求出Sn的取值范圍.
解答:解:(1)∵(2n-1)an+2=(2n+1)an-1+8n2,
∴(2n-1)an-(2n+1)an-1=2(4n2-1),
an
2n+1
-
an-1
2n-1
=2

{
an
2n+1
}
是以1為首項,2為公差的等差數(shù)列,
∴an=4n2-1.
(2)由(1)得,bn=
1
an
=
1
4n2-1
=
1
2
(
1
2n-1
-
1
2n+1
)
,
Sn=
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
=
1
2
(1-
1
2n+1
)
,
Sn∈[
1
3
,
1
2
)
點評:本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和的求解方法,解題時要注意構造法和裂項求和法的合理運用.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

定義:稱
n
a1+a2+…+an
為n個正數(shù)a1,a2,…,an的“均倒數(shù)”,已知正項數(shù)列{an}的前n項的“均倒數(shù)”為
1
2n
,則
lim
n→∞
nan
sn
( 。
A、0
B、1
C、2
D、
1
2

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知正項數(shù)列an中,a1=2,點(
an
,an+1)
在函數(shù)y=x2+1的圖象上,數(shù)列bn中,點(bn,Tn)在直線y=-
1
2
x+3
上,其中Tn是數(shù)列bn的前項和.(n∈N+).
(1)求數(shù)列an的通項公式;
(2)求數(shù)列bn的前n項和Tn

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知正項數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=an2+2an(n∈N+),令bn=log2(an+1).
(1)求證:數(shù)列{bn}為等比數(shù)列;
(2)記Tn為數(shù)列{
1
log2bn+1log2bn+2
}
的前n項和,是否存在實數(shù)a,使得不等式Tn<log0.5(a2-
1
2
a)
對?n∈N+恒成立?若存在,求出實數(shù)a的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知正項數(shù)列{an},Sn=
1
8
(an+2)2

(1)求證:{an}是等差數(shù)列;
(2)若bn=
1
2
an-30
,求數(shù)列{bn}的前n項和.

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